【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数2Bより
第1問
[2]
(1) a>0,a≠1,b>0のとき、lob[a]b=xとおくと、[ツ]が成り立つ。
[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――┐
| {0} x^a=b {1} x^b=a |
| {2} a^x=b {3} b^x=a |
| {4} a^b=x {5} b^a=x |
└―――――――――――――――――――┘
(2) 様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i) log[5]25=[テ],log[9]27=[ト]/[ナ]であり、どちらも有理数
である。
(ii) log[2]3が有理数か無理数のどちらであるかを考えよう。
log[2]3が有理数であると仮定すると、log[2]3>0であるので、2つの
自然数p,qを用いてlog[2]3=p/qと表すことができる。このとき、(1)に
よりlog[2]3=p/qは[ニ]と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数で
あるので、[ニ]を満たす自然数p,qは存在しない。
したがって、log[2]3は無理数であることがわかる。
(iii) a,bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「[ヌ]ならば
log[a]bはつねに無理数である」ことがわかる。
[ニ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} p^2=3q^2 {1} q^2=p^3 {2} 2^q=3^p |
| {3} p^3=2q^3 {4} p^2=q^3 {5} 2^p=3^q |
└――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ヌ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} aが偶数 |
| {1} bが偶数 |
| {2} aが奇数 |
| {3} bが奇数 |
| {4} aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数 |
| {5} aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、底がa真数がbの対数はlog[a]b、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
↓↓指数・対数の解説記事はこちら↓↓
http://a-ema.seesaa.net/article/477928170.html
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■ 解説目次
◆1 分数は累乗根・マイナスは逆数
◆2 指数・対数の関係
◆3 対数の計算法則
◆4 log[a]b=xは「aをbにするにはx乗」
◆5 log[a]b=xとおいて考える
(以下略)
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■ 解説
◆1〜3は省略します。
◆4 log[a]b=xは「aをbにするにはx乗」
では今回の問題です。
log[a]b=xを指数を使って書き換える問題です。
この式は、「aをbにするにはx乗」を意味します。言い換えれば、
「aをx乗したらbになる」
ですね。
つまり、log[a]b=xを書き換えると、a^x=bとなります。
よって、[ツ]=2
・・・配点を確認したら、たったこれだけで3点!?
2Bを使う人は絶対に正解すべき問題ですね!
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◆5 log[a]b=xとおいて考える
(2)では、a,bに色々な値を入れた場合について考えます。
(i) log[5]25=[テ],log[9]27=[ト]/[ナ]
先ほど◆4でも触れたように、log[a]bは「aをbにするには何乗か?」であり、
log[a]b=xとすれば、a^x=bです。この関係を用いてそれぞれを指数で
書き換えていきましょう!
log[5]25=xとすると、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル:数学