◆問題
ａ＞０，ｂ＞０のとき、不等式ａ＋ｂ＋１／(ａ＋ｂ)≧２を証明せよ。
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◆解答解説
不等式の証明では、相加相乗平均の関係を使うと、簡単にできる場合があります。
「相加相乗平均」とは、２つの数をａ，ｂとすると、
(ａ＋ｂ)／２≧√ａｂ
になるという関係のことです。
左辺が足して２で割ったので「相加平均」、右辺は掛けてルートしたので「相乗平均」です。
言葉で説明すれば、(相加平均)≧(相乗平均)という関係があるということができます。
これは改めて証明しなくても、「公式・定理」と同様に使うことができます。
(ａ＋ｂ)／２≧√ａｂの両辺を２倍して、ａ＋ｂ≧２√ａｂの形で使うことも多いです。
相加相乗平均の関係より、(ａ＋ｂ)≧２√ａｂで、ａ＝ａ＋ｂ，ｂ＝１／(ａ＋ｂ)とすると、
ａ＋ｂ＋１／(ａ＋ｂ)≧２√{(ａ＋ｂ)×１／(ａ＋ｂ)}
この式は成り立つことは間違いありません。
右辺を計算すると、約分して、
ａ＋ｂ＋１／(ａ＋ｂ)≧２√１
ａ＋ｂ＋１／(ａ＋ｂ)≧２
相加相乗平均の式から、与式と同じ形の式を導くことができました。
よって、与式は成り立つことがわかります。
ちなみに、等号が成り立つのは、
(ａ＋ｂ)＝１／(ａ＋ｂ)より、(ａ＋ｂ)2＝１のとき、すなわち、ａ＋ｂ＝１のときです。
◆関連項目
相加相乗平均の基本
相加相乗平均の証明問題
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