高校数学「式と証明」「複素数と方程式」まとめ

高校数学「式と証明」「複素数と方程式」まとめ

高校数学２の「式と証明」「複素数と方程式」に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆　公式・解き方・考え方
等式の証明の基本的な方法

相加相乗平均の関係

２次方程式の解と係数の関係の公式を忘れてしまったとき

剰余の定理と因数定理

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◆　問題

●二項定理
(３ｘ−２)⁵の展開式において、ｘ2の係数を求めよ。

●等式
ｘ(ａ＋１)＋ｙ(ｂ−ａ)＝３ｘ＋２ｙがｘ，ｙの値にかかわらず常に成り立つようなａ，ｂの値を求める
(ｘ＋８)／{(ｘ−２)(ｘ＋３)}＝ａ／(ｘ−２)＋ｂ／(ｘ＋３)恒等式になるようなａ，ｂの値

ｘ＋ｙ＋ｚ＝０のとき、ｘ³＋ｙ³＋ｚ³＝３ｘｙｚであることを証明する
ａ＋ｂ＋ｃ＝０のときｃ²−４ａｂ＝(ａ−ｂ)²などを証明する
(ａ＋ｃ)／(ｂ＋ｄ)＝(ａ＋２ｃ)／(ｂ＋２ｄ)を証明する
△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣを三等分する点をＢに近い方からＤ，Ｅとするとき、次の等式が成り立つことを証明…

●不等式
ａ＞０のとき、不等式ａ＋１／ａ≧２を証明
ｘ²＋５ｙ²＋２ｘ＋５≧４ｘｙを証明する
不等式ａ＋ｂ＋１／(ａ＋ｂ)≧２の証明
ａ＞０，ｂ＞０，ａｂ＝６のときの２ａ＋ｂの最小値

●方程式・複素数
ｘ^2−ｘ＋３＝０の解をα，βとするとき、α＋β，αβの値を求めよ２次方程式ｘ^2−２ｘ＋３＝０の２つの解をα，βとするとき…
２次方程式ｘ²−ｍｘ＋１２＝０の２つの解の比が３：４であるとき、定数ｍの値と２つの解を求めよ。
２次方程式ｘ^2＋２ｍｘ＋２ｍ^2−５＝０が１より大きい異なる２つの実数解をもつとき、定数ｍの値の範囲を求めよ
ｘ²−２ｉｘ＋３(２ｉ−３)＝０を満たすｘの値

●高次方程式・因数定理
１の３乗根のうち虚数のものの１つをωとするとき(1) ω²＋ω＋１の値を求めよ。など

２ｘ³＋７ｘ²−１４ｘ＋５の因数分解
３次方程式ｘ³−３ｘ²＋２＝０を解く
(ｘ²−ｘ)²−５(ｘ²−ｘ)＋６＝０を解く

３次方程式ｘ³＋ａｘ²−ｘ−６＝０の解の１つが２のとき、定数ａの値と他の解を求めよ。
３次方程式ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ−６＝０が−１と２を解にもつとき、定数ａ，ｂの値と他の解を求めよ。

整式Ｐ(ｘ)＝ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋１をｘ²＋ｘ−２で割った余りが−２ｘ＋３であるとき、定数ａ，ｂの値を求めよ。
整式Ｐ(ｘ)を、ｘ−２で割ったときの余りが−１，ｘ＋３で割ったときの余りが９であるとき、Ｐ(ｘ)を(ｘ−２)(ｘ＋３)で割ったときの余りを求めよ。
整式Ｐ(ｘ)＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋１をｘ^2＋ｘ−２で割った余りが−２ｘ＋３であるとき、定数ａ，ｂの値を求めよ。
整式Ｐ(ｘ)をｘ²＋ｘ−２で割った余りが−３ｘ＋８，ｘ²−ｘ−６で割った余りが−５ｘ＋４であるとき、Ｐ(ｘ)をｘ²−４ｘ＋３で割った余りを求めよ。


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