◆問題
整式Ｐ(ｘ)＝ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋１をｘ2＋ｘ－２で割った余りが－２ｘ＋３であるとき、定数ａ，ｂの値を求めよ。
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Ｐ(ｘ)を割る数と余りがわかっているので、商をＱ(ｘ)とおいて方程式を立ててみましょう！
Ｐ(ｘ)÷ｘ2＋ｘ－２＝Ｑ(ｘ)あまり－２ｘ＋３
とりあえずこのように置くことができますね。
これを、Ｐ(ｘ)＝●●の形に直します。
Ｐ(ｘ)＝(ｘ2＋ｘ－２)Ｑ(ｘ)－２ｘ＋３
Ｑ(ｘ)の前の２次式が因数分解できそうなので、やってみます。
Ｐ(ｘ)＝(ｘ＋２)(ｘ－１)Ｑ(ｘ)－２ｘ＋３
ｘ＝－２，１のときは、カッコの中身がゼロになるので、Ｑ(ｘ)を含む部分が丸ごと消えてしまいます。
つまり、
Ｐ(－２)＝－２×(－２)＋３＝４＋３＝７
Ｐ(１)＝－２＋３＝１
これで２つの式の値がわかったので、次は与式に当てはめてみます。
Ｐ(ｘ)＝ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋１
Ｐ(－２)＝(－２)3＋ａ(－２)2－２ｂ＋１
＝－８＋４ａ－２ｂ＋１
＝４ａ－２ｂ－７＝７
４ａ－２ｂ＝１４
Ｐ(１)＝１＋ａ＋ｂ＋１
＝ａ＋ｂ＋２＝１
ａ＋ｂ＝－１
あとはこれら２つの式を解けばａ，ｂの値は出ます！
ここでは計算は省略します。
ａ＝２，ｂ＝－３
◆関連項目
剰余の定理と因数定理
「式と証明」「複素数と方程式」まとめ
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