高校数学「高次方程式」３次方程式ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ−６＝０

高校数学「高次方程式」３次方程式ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ−６＝０

◆問題
３次方程式ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ−６＝０が−１と２を解にもつとき、定数ａ，ｂの値と他の解を求めよ。


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◆解答解説

前回の問題では、わかっている解が１つでしたが今回は２つです。
だからといって、大きく違うわけではなく、解が分かっていればｘに代入できる。ということは一緒です。
まずはそれぞれ代入してみましょう！

３次方程式ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ−６＝０が−１と２を解にもつとき、定数ａ，ｂの値と他の解を求めよ。

ｘ＝−１のとき、
　(−１)³＋ａ×(−１)²＋ｂ×(−１)−６
＝−１＋ａ−ｂ−６
＝ａ−ｂ−７＝０
　　　ａ−ｂ＝７

ｘ＝２のとき
　２³＋ａ×２²＋ｂ×２−６
＝８＋４ａ＋２ｂ−６
＝４ａ＋２ｂ＋２＝０
　　　４ａ＋２ｂ＝−２

これでａ，ｂについての式が２つできました。
ならばこれらの式を連立方程式として解けば、ａ，ｂが出ますね！

ここでは計算は省略しますが、計算するとａ＝２，ｂ＝−５となります。

ａ，ｂがわかればそれらを代入すれば、もとの方程式が完成します。
方程式が決まれば、解もわかる。というわけです。

ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ−６＝０に、ａ＝２，ｂ＝−５を代入すると、
ｘ³＋２ｘ²−５ｘ−６＝０

そして、解のうち２つは−１，２とわかっているので、この式は因数に(ｘ＋１)と(ｘ−２)もつこともわかります。

つまり、この３次式は(ｘ＋１)や(ｘ−２)で割りきれます。
だから、(ｘ＋１)(ｘ−２)＝ｘ²−ｘ−２で割りきれます。

ｘ²−ｘ−２で割ってみると、

(ｘ³＋２ｘ²−５ｘ−６)÷(ｘ²−ｘ−２)＝ｘ＋３

となるので、他の解はｘ＝−３となります。

問題で聞いている内容をまとめると、「ａ＝２，ｂ＝−５，他の解はｘ＝−３」となります。


◆関連項目
前回の問題
剰余の定理と因数定理
「式と証明」「複素数と方程式」まとめ


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