◆問題
整式Ｐ(ｘ)をｘ2＋ｘ－２で割った余りが－３ｘ＋８，ｘ2－ｘ－６で割った余りが－５ｘ＋４であるとき、Ｐ(ｘ)をｘ2－４ｘ＋３で割った余りを求めよ。
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◆解答解説
【整式Ｐ(ｘ)をｘ2＋ｘ－２で割った余りが－３ｘ＋８，ｘ2－ｘ－６で割った余りが－５ｘ＋４であるとき、Ｐ(ｘ)をｘ2－４ｘ＋３で割った余りを求めよ。】
割る数と余りがセットでわかっているので、それぞれの商をＱ1(ｘ)，Ｑ2(ｘ)とおいて方程式を立ててみましょう！
Ｐ(ｘ)＝Ｑ1(ｘ)・(ｘ2＋ｘ－２)－３ｘ＋８
Ｐ(ｘ)＝Ｑ2(ｘ)・(ｘ2－ｘ－６)－５ｘ＋４
まずはこのように表すことができます。
カッコの中の２次式が因数分解できそうなので、それぞれやってみましょう！
Ｐ(ｘ)＝Ｑ1(ｘ)・(ｘ＋２)(ｘ－１)－３ｘ＋８
Ｐ(ｘ)＝Ｑ2(ｘ)・(ｘ＋２)(ｘ－３)－５ｘ＋４
このような式になったということは、ｘに１，３，－２を入れれば、Ｑ1(ｘ)，Ｑ2(ｘ)を含まない式を作ることができます。
Ｐ(１)＝－３＋８＝５
Ｐ(３)＝－１５＋４＝－１１
Ｐ(－２)＝６＋８＝１４
続いて、ｘ2－４ｘ＋３で割ったときの商をＱ(ｘ)，余りをａｘ＋ｂとおいて方程式を作ると、
Ｐ(ｘ)＝Ｑ(ｘ)・(ｘ2－４ｘ＋３)＋ａｘ＋ｂ
＝Ｑ(ｘ)・(ｘ－１)(ｘ－３)＋ａｘ＋ｂ
この式のＱ(ｘ)は、ｘ＝１，３のときに消去できることがわかります。
Ｐ(１)とＰ(３)の値はわかっているので、それらを利用すると、
Ｐ(１)＝ａ＋ｂ＝５
Ｐ(３)＝３ａ＋ｂ＝－１１
あとはこれらを連立して解けば、ａ＝－８，ｂ＝１３
聞いているのは余りなので、ａｘ＋ｂにこれらの値を代入して、
－８ｘ＋１３
◆関連項目
整式Ｐ(ｘ)＝ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋１をｘ2＋ｘ－２で割った余りが－２ｘ＋３であるとき
剰余の定理と因数定理
「式と証明」「複素数と方程式」まとめ
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ラベル：数学
