【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数２Ｂより
第２問
[1]
(1) ｋを正の定数とし、次の３次関数を考える。
ｆ(ｘ)＝ｘ^2・(ｋ−ｘ)
ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフとｘ軸との共有点の座標は(０，０)と([ア]，０)である。
ｆ(ｘ)導関数ｆ'(ｘ)は
ｆ'(ｘ)＝[イウ]ｘ^2＋[エ]ｋｘ
である。
ｘ＝[オ]のとき、ｆ(ｘ)は極小値[カ]をとる。
ｘ＝[キ]のとき、ｆ(ｘ)は極大値[ク]をとる。
また、０＜ｘ＜ｋの範囲においてｘ＝[キ]のときは最大となることがわかる。
[ア]，[オ]〜[ク]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０ {1} (１／３)ｋ {2} (１／２)ｋ {3} (２／３)ｋ ｜
｜{4} ｋ {5} (３／２)ｋ {6} −４ｋ^2 {7} (１／８)ｋ^2 ｜
｜{8} (２／２７)ｋ^3 {9} (４／２７)ｋ^3 {a} (４／９)ｋ^3 {b} ４ｋ^3｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 後の図のように底面が半径９の円で高さが１５の円錐に内接する円柱を考える。
円柱の底面の半径と体積をそれぞれｘ，Ｖとする。Ｖをｘの式で表すと
Ｖ＝([ケ]／[コ])πｘ^2・([サ]−ｘ) (０＜ｘ＜９)
である。(1)の考察より、ｘ＝[シ]のときＶは最大となることがわかる。Ｖの最大値
は[スセソ]πである。
図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b21.png
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
◆３ ｘ軸上はｙ＝０
◆４ 導関数だから微分
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ ｘ軸上はｙ＝０
では今回の問題です。
関数ｆ(ｘ)＝ｘ^2・(ｋ−ｘ)が与えられていて、このｙ＝ｆ(ｘ)とｘ軸との交点を
求めます。
ｘ軸上はｙ＝０だから、イコールゼロで解けばＯＫ！ですね！
ｘ^2・(ｋ−ｘ)＝０
よって、ｘ^2＝０よりｘ＝０，ｋ−ｘ＝０よりｘ＝ｋが得られます。
つまり、ｘ軸との交点は(０，０)と(ｋ，０)ですね。
よって、[ア]＝４
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◆４ 導関数だから微分
続いてｆ'(ｘ)を求めます。
導関数は普通に微分の計算ですね。
◆１でも触れたように、
(以下略)
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ラベル：数学
