高校数学「図形と方程式」３点(０，１)，(３，２)，(６，−７)を通る円

高校数学「図形と方程式」３点(０，１)，(３，２)，(６，−７)を通る円

◆問題
３点Ａ(０，１)，Ｂ(３，２)，Ｃ(６，−７)を通る円の方程式を求めよ。


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◆解答解説

【３点Ａ(０，１)，Ｂ(３，２)，Ｃ(６，−７)を通る円の方程式を求めよ。】

３点がわかっているときは、円の方程式の一般形に代入します。

ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０

にそれぞれ代入すると、

Ａ：０＋１＋０＋ｂ＋ｃ＝０
　　　　　　　　ｂ＋ｃ＝−１・・・�@

Ｂ：９＋４＋３ａ＋２ｂ＋ｃ＝０
　　　　　　３ａ＋２ｂ＋ｃ＝−１３・・・�A

Ｃ：３６＋４９＋６ａ−７ｂ＋ｃ＝０
　　　　　　　　６ａ−７ｂ＋ｃ＝−８５・・・�B

ａ，ｂ，ｃについての式が３つできました。文字が３つ式が３つなので、連立すればａ，ｂ，ｃが出ますね！
いろいろな組み合わせ方が可能です。ここではその一例を示します。

�@を�Aに代入すると、
３ａ＋ｂ−１＝−１３
　　３ａ＋ｂ＝−１２・・・�C

�@を�Bに代入すると、
６ａ−８ｂ−１＝−８５
　　６ａ−８ｂ＝−８４
　　３ａ−４ｂ＝−４２・・・�D

�C・・・　　　３ａ＋ｂ＝−１２
�D・・・−）３ａ−４ｂ＝−４２
　　　　―――――――――――
　　　　　　　　　５ｂ＝３０
　　　　　　　　　　ｂ＝６　・・・�E

�Eを�@に代入して、
６＋ｃ＝−１
　　ｃ＝−７　・・・�F

�E，�Fを�Aに代入して、
３ａ＋１２−７＝−１３
　　　　　３ａ＝−１８
　　　　　　ａ＝−６

よって、求める方程式は、

ｘ²＋ｙ²−６ｘ＋６ｙ−７＝０


この問題は「方程式を求めよ」なので、これで終わりですが、中心と半径を聞かれていれば、さらに平方完成します。
せっかくなので、やってみましょう！

ｘ²−６ｘ＋ｙ²＋６ｙ−７＝０
(ｘ−３)²−９＋(ｙ＋３)²−９−７＝０
(ｘ−３)²＋(ｙ＋３)²＝２５

よって、この円は中心(３，−３)，半径５であることがわかりました。


◆関連項目
円の方程式
図形と方程式まとめ


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