高校数学「図形と方程式」点(−２，４)から円ｘ^2＋ｙ^2＝１０に引いた接線

高校数学「図形と方程式」点(−２，４)から円ｘ²＋ｙ²＝１０に引いた接線

◆問題
点(−２，４)から円ｘ²＋ｙ²＝１０に引いた接線の方程式を求めよ。


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◆解答解説

【点(−２，４)から円ｘ²＋ｙ²＝１０に引いた接線の方程式を求めよ。】

原点を中心とする円の接線の方程式は、円周上の点を(ａ，ｂ)として次のように表されます。
ａｘ＋ｂｙ＝ｒ²

今回の問題では円周上の点の座標はわかっていないので、そのまま(ａ，ｂ)として、接線の方程式をａｘ＋ｂｙ＝１０とします。

この接線が(−２，４)を通るので、接線の方程式にこの座標を代入することができます。
つまり、

−２ａ＋４ｂ＝１０

まずはこの式を作ることができます。
文字が２つ残っているので、この他に何か式をもう一つ作ることができれば、連立して解くことができますね。
例えば、接線と接点に引いた半径が垂直に交わる性質を利用してみると、

直線の垂直条件は、ｍｍ'＝−１なので、まずはそれぞれの直線の傾きを出します。
半径の直線は、原点と(ａ，ｂ)を通るので、傾きはｂ／ａとなります。
接線は(−２，４)と(ａ，ｂ)を通るので、(ｂ−４)／(ａ＋２)となります。
垂直になるならば、−１です。

(ｂ／ａ){(ｂ−４)／(ａ＋２)}＝{ｂ(ｂ−４)}／{ａ(ａ＋２)}＝−１
つまり、ｂ²−４ｂ＝−ａ²−２ａ

これに、−２ａ＋４ｂ＝１０すなわちａ＝２ｂ−５を代入してみます。

ｂ²−４ｂ＝−(２ｂ−５)²−２(２ｂ−５)
ｂ²−４ｂ＝−(４ｂ²−２０ｂ＋２５)−４ｂ＋１０
５ｂ²−２０ｂ＋１５＝０
ｂ²−４ｂ＋３＝０
(ｂ−１)(ｂ−３)＝０
よって、ｂ＝１，３

ｂ＝１のとき、ａ＝２−５＝−３
ｂ＝３のとき、ａ＝６−５＝１

ということで、求める接線の方程式は、
−３ｘ＋ｙ＝１０，ｘ＋３ｙ＝１０


◆関連項目
円の方程式
図形と方程式まとめ


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