【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
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■ 問題
2023年共通テスト数２Ｂより
第４問
花子さんは、毎年の始めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を
始める前における花子さんの預金は１０万円である。こごて、預金とは預金口座に
あるお金の額のことである。預金には年利１％で利息がつき、ある年の初めの預金が
ｘ万円であれば、その年の終わりには預金は１．０１ｘ万円となる。次の年の初め
には１．０１ｘ万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をｐ万円とし、ｎ年目の初めの預金をａn万円とおく。ただし、
ｐ＞０とし、ｎは自然数とする。
例えば、ａ1＝１０＋ｐ，ａ2＝１．０１(１０＋ｐ)＋ｐである。
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参考図
(1) ａnを求めるために二つの方針で考える。
┌[方針１]――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ ｎ年目の初めの預金と(ｎ＋１)年目の初めの預金との関係に着目して考える。｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
３年目の初めの預金ａ3万円について、ａ3＝[ア]である。すべての自然数ｎについて
ａn+1＝[イ]ａn＋[ウ]
が成り立つ。これは
ａn+1＋[エ]＝[オ](ａn＋[エ])
と変形でき、ａnを求めることができる。
[ア]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} １．０１{１．０１(１０＋ｐ)＋ｐ} ｜
｜{1} １．０１{１．０１(１０＋ｐ)＋１．０１ｐ} ｜
｜{2} １．０１{１．０１(１０＋ｐ)＋ｐ}＋ｐ ｜
｜{3} １．０１{１．０１(１０＋ｐ)＋ｐ}＋１．０１ｐ ｜
｜{4} １．０１(１０＋ｐ)＋］１．０１ｐ ｜
｜{5} １．０１(１０＋１．０１ｐ)＋１．０１ｐ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[イ]～[オ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} １．０１ {1} １．０１^(n-1) {2} １．０１^n ｜
｜{3} ｐ {4} １００ｐ {5} ｎｐ ｜
｜１００ｎｐ {7} １．０１^(n-1)×１００ｐ {8} １．０１^n×１００ｐ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
┌[方針２]――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ もともと預金口座にあった１０万円と毎年の始めに入金したｐ万円について、｜
｜ｎ年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
もともと預金口座にあった１０万円は、２年目の初めには１０×１．０１万円に
なり、３年目の初めには１０×１．０１^2万円になる。同様に考えるとｎ年目の初め
には１０×１．０１^(n-1)万円になる。
・１年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはｐ×１．０１^[カ]万円になる。
・２年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはｐ×１．０１^[キ]万円になる。
・
・
・
・ｎ年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはｐ万円のままである。
これより
ａn＝１０×１．０１^(n-1)＋ｐ×１．０１^[カ]＋ｐ×１．０１^[キ]＋…＋ｐ
＝１０×１．０１^(n-1)＋ｐ・Σ[k=1～n]１．０１^[ク]
となることがわかる。ここで、Σ[k=1～n]１．０１^[ク]＝[ケ]となるので、ａnを
求めることができる。
[カ]，[キ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｎ＋１ {1} ｎ {2} ｎ－１ {3} ｎ－２ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ク]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｋ＋１ {1} ｋ {2} ｋ－１ {3} ｋ－２ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} １００×１．０１^n {1} １００(１．０１^n－１) ｜
｜{2} １００{１．０１^(n-1)－１} {3} ｎ＋１．０１^(n-1)－１ ｜
｜{4} ０．０１(１０１ｎ－１) {5} {ｎ×１．０１^(n-1)}／２ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 花子さんは、１０年目の終わりの預金が３０万円以上になるための入金額に
ついて考えた。
１０年目の終わりの預金が３０万円以上であることを不等式を用いて表すと
[コ]≧３０となる。この不等式をｐについて解くと
ｐ≧([サシ]－[スセ]×１．０１^10)／{１０１(１．０１^10－１)}
となる。したがって、毎年の初めの入金額が例えば18000円であれば、１０年目の
終わりの預金が３０万円以上になることがわかる。
[コ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ａ10 {1} ａ10＋ｐ {2} ａ10－ｐ ｜
｜{3} １．０１ａ10 {4} １．０１ａ10＋ｐ {5}１．０１ａ10－ｐ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) １年目の入金を始める前における花子さんの預金が１０万円でなく１３万円の
場合を考える。すべての自然数ｎに対して、この場合のｎ年目の初めの預金は
ａn万円よりも[ソ]万円多い。なお、年利は１％であり、毎年の初めの入金額は
ｐ万円である。
[ソ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ３ {1} １３ {2} ３(ｎ－１) ｜
｜{3} ３ｎ {4} １３(ｎ－１) {5} １３ｎ ｜
｜{6} ３^n {7} ３＋１．０１(ｎ－１) {8} ３×１．０１^(n-1)｜
｜{9} ３×１．０１^n {a} １３×１．０１^(n-1) {b} １３×１．０１^n ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
数列の解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/479520450.html
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■ 解説目次
◆１ 2023年の数列は金利の問題
◆２ １％増えるから１．０１をかける
◆３ ｎとｎ＋１でも、関係は同じ
(以下略)
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■ 解説
◆１ 2023年の数列は金利の問題
2023年も数学２Ｂ第４問に、数列についての問題が配置されました。
預金と金利についての話題なので、数列の問題としては比較的ノーマルなものです。
数学Ｂのいくつかの教科書には、似た問題が掲載されていると思います。
何はともあれ、まずは問題の内容をしっかり読み取って、一つ一つ表していきま
しょう！
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◆２ １％増えるから１．０１をかける
では今回の問題です。
・花子さんは毎年一定額の入金をする
・最初の預金額は１０万円である
・利息は１％
要点は以上です。
そして「毎年初めの入金額をｐ万円」「ｎ年目の初めの預金をａn万円」とします。
だから、「ａ1＝１０＋ｐ，ａ2＝１．０１(１０＋ｐ)＋ｐ」となりますね。
そして最初の設問は、３年目の初めの預金、ａ3の値を求めます。
ａ2＝１．０１(１０＋ｐ)＋ｐだから、これに１％分の金利を加えて、ｐも加えた
ものがａ3です。ということは、
ａ3＝１．０１{１．０１(１０＋ｐ)＋ｐ}＋ｐ
ですね！
よって、[ア]＝２
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◆３ ｎとｎ＋１でも、関係は同じ
続いて、ａnとａn+1の関係式を求めます。
ｎ＋１年目には、ｎ年目の預金額に１％を加えて、さらにｐを加えるのだから・・・
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
