【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数1Aより
第4問
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた
長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついて長方形は十分
あるものとする。
(1) 横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて
正方形や長方形を作ることを考える。
462
┌―――┬―――┬―――――――――┬―――┐
110| 赤 | 赤 | ・・・ | 赤 |
├―――┼―――┼―――――――――┼―――┤
| 赤 | 赤 | ・・・ | 赤 |
├―――┼―――┼―――――――――┼―――┤
| | | | |
| | | | |
| ・ | ・ | ・ | ・ |
| ・ | ・ | ・ | ・ |
| ・ | ・ | ・ | ・ |
| | | | |
| | | | |
├―――┼―――┼―――――――――┼―――┤
| 赤 | 赤 | ・・・ | 赤 |
└―――┴―――┴―――――――――┴―――┘
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは[アイ]である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小である
ものは、一辺の長さが[ウエオカ]のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形でない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さ
の差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が
[キク]になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより[キク]長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、
横の長さが[ケコサシ]のものである。
(2) 花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を
作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上
並べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。
図2はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a4.png
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べて
できる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さ
が最小のものは、縦の長さが[スセソ]のものであり、図2のような長方形は縦の
長さが[スセソ]の倍数である。
二人は、次のように話している。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|花子:赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。|
|太郎:赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2の|
| ような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さ|
| でないといけないね。 |
|花子:正方形だから、横の長さは[スセソ]の倍数でもないといけないね。 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
462と363の最大公約数は[タチ]であり、[タチ]の倍数のうちで[スセソ]の倍数でも
ある最初の正の整数は[ツテトナ]である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上である
ことから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが
[ニヌネノ]のものであることがわかる。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 数学1A第4問は「整数の性質」
◆2 「両方を割り切る」=「公約数」
◆3 比がわかれば、何個並べればよいかわかる
(以下略)
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■ 解説
◆1 数学1A第4問は「整数の性質」
2023年共通テストも、数学1A第4問は、整数の性質に関する問題でした。
整数の性質で出題される事項は、
約数・倍数、公約数・公倍数
ユークリッドの互除法
不定方程式
n進法
などです。
この単元を使うつもりの人は、これらの事項をしっかりマスターしておきましょう!
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◆2 「両方を割り切る」=「公約数」
では最初の設問です。
「462と110の両方を割り切る素数のうち最大のもの」を求める問題です。
「両方を割り切る」ということは、公約数ですが、「素数」という指定が入っている
ことにも注意が必要です。
とりあえずは普通に公約数の求め方通りにやってみましょう!
2)462 110
――――――――
11)231 55
――――――――
21 5
公約数は例えば、2,11そしてこれらをかけた22ですね。
これらの中で最大の素数は11です。
よって、[アイ]=11
ちなみに、もちろんユークリッドの互除法でこれを求めることもできます。
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◆3 比がわかれば、何個並べればよいかわかる
続いて、「赤い長方形を並べて作ることができる正方形」のうち、
「辺の長さが最小であるもの」の一辺の長さを求めます。
「赤い長方形」は、横が462,縦が110でしたね。そしてこれらの最大公約数は
◆2の素因数分解からわかるように、22です。
だから、
つづく
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ラベル:数学