高校数学「図形と方程式」２つの円の交点を通る円

高校数学「図形と方程式」２つの円の交点を通る円

◆問題
２つの円ｘ²＋ｙ²−６ｘ＋５＝０，ｘ²＋ｙ²−２ｘ−２ｙ＋１＝０の２つの交点と点(１，３)を通る円の方程式を求めよ。


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◆解答解説

【２つの円ｘ²＋ｙ²−６ｘ＋５＝０，ｘ²＋ｙ²−２ｘ−２ｙ＋１＝０の２つの交点と点(１，３)を通る円の方程式を求めよ。】

関数の交点は連立方程式で求めることができるので、２つの円の方程式を連立して・・・とやっても、もちろん構いませんが、２次式同士の連立方程式は計算が大変で、最終的に収拾がつかなくなってしまう場合もありますよね。
だから、できるだけ簡単に計算するために、やり方を工夫するとよいです。

それは、

ｋ(ｘ²＋ｙ²−６ｘ＋５)＋ｘ²＋ｙ²−２ｘ−２ｙ＋１＝０

この形の式をつくることです。
このように、２つの関数の式のうち片方にｋを掛けた形の式を作ると、２つの円の交点を通る関数となります。

２つの円の交点を通る関数が(１，３)も通るのだから、この式に(１，３)代入することができます。
やってみると、

ｋ(１²＋３²−６＋５)＋１²＋３²−２×１−２×３＋１＝０

あとは計算です。

　ｋ(１＋９−６＋５)＋１＋９−２−６＋１
＝９ｋ＋３＝０
　　　９ｋ＝−３
　　　　ｋ＝−１／３

ｋの値がわかったので、代入して整理すれば、円の方程式が求められるはずです！

−(１／３)(ｘ²＋ｙ²−６ｘ＋５)＋ｘ²＋ｙ²−２ｘ−２ｙ＋１＝０

まずは両辺を３倍して、

−ｘ²−ｙ²＋６ｘ−５＋３ｘ²＋３ｙ²−６ｘ−６ｙ＋３＝０

同類項をまとめれば、

２ｘ²＋２ｙ²−６ｙ−２＝０

両辺を２で割って、

ｘ²＋ｙ²−３ｙ−１＝０


これが求める円の方程式です！


◆関連項目
円の方程式
図形と方程式まとめ


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