【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数1Aより
第2問
[1] p,qを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。
x^2+px+q=0 ……{1}
x^2+qx+p=0 ……{2}
{1}または{2}を満たす実数xの個数をnとおく。
(1) p=4,q=−4のとき、n=[ア]である。
また、p=1,q=−2のときn=[イ]である。
(2) p=−6のとき、n=3になる場合を考える。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|花子:例えば、{1}と{2}をともに満たす実数xがあるときはn=3に|
| なりそうだね。 |
|太郎:それをαとしたら、α^2−6α+q=0とα^2+qα−6=0|
| が成り立つよ。 |
|花子:なるほど。それならば、α^2を消去すれば、αの値が求められ|
| そうだね。 |
|太郎:確かにαの値が求まるけど、実際にn=3となっているかどう|
| かの確認が必要だね。 |
|花子:これ以外にもn=3となる場合がありそうだね。 |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
n=3となるqの値は
q=[ウ],[エ]
である。ただし、[ウ]<[エ]とする。
(3) 花子さんと太郎さんは、グラフ表示ソフトを用いて、{1},{2}の左辺をyと
おいた2次関数y=x^2+px+qとy=x^2+qx+pのグラフの動きを考えて
いる。
p=−6に固定したまま、qの値だけを変化させる。
y=x^2−6x+q ……{3}
y=x^2+qx−6 ……{4}
の二つのグラフについて、q=1のときのグラフを点線で、qの値を1から増加
させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき、{3}のグラフの移動の様子を
示すと[オ]となり、{4}のグラフの移動の様子を示すと[カ]となる。
[オ],[カ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じ物を繰り返し選んでもよい。なお、x軸とy軸は省略しているが、
x軸は右方向、y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。
グラフはこちら→http://www.a-ema.com/img/2022math1a21a.png
(4) [ウ]<q<[エ]とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合
A,Bを
A={x|x^2−6x+q<0}
B={x|x^2+qx−6<0}
_
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合をXと表す。このとき次のことが
成り立つ。
・x∈Aは、x∈Bであるための[キ]。
_
・x∈Bは、x∈Aであるための[ク]。
[キ],[ク]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 必要条件であるが、十分条件ではない |
|{1} 十分条件であるが、必要条件ではない |
|{2} 必要十分条件である |
|{3} 必要条件でも十分条件でもない |
└――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 第2問[1]は2次方程式、2次関数、必要条件・十分条件
◆2 解の個数なら判別式
(以下略)
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■ 解説
◆1 第2問[1]は2次方程式、2次関数、必要条件・十分条件
2022年共通テスト数学1A第2問[1]は、2次方程式、2次関数、必要・十分条件の
問題でした。
対話文も含む問題になっていますが、着実に読み取って解いていきましょう!
まず
x^2+px+q=0 ……{1}
x^2+qx+p=0 ……{2}
これらの2つの2次方程式があり、これらを満たす実数xの個数をnとしています。
解の個数についての問題なので、判別式を使うのがノーマルですが、それだけで
なく、実際に解がいくつになるかも考えた方が良い場合もあります。
高校数学の2次関数については、ブログでいろいろな論点について解説しています。
http://a-ema.seesaa.net/article/478441371.html
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◆2 解の個数なら判別式
では(1)です。
pとqの値が与えられて、そのときのnの値を求めます。
まず「p=4,q=−4のとき」は、
x^2+4x−4=0 ……{1}
x^2−4x+4=0 ……{2}
です。
それぞれの判別式D=b^2−4acの値を求めます。
D1=4^2−4×1×(−4)=16+16=32>0
D2=(−4)^2−4×1×4=16−16=0
つまり・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル:数学