2023年07月21日

本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学1A第2問[1]

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学1A第2問[1]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


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■ 問題

2022年共通テスト数1Aより

第2問

[1] p,qを実数とする。
 花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。

  x^2+px+q=0 ……{1}
  x^2+qx+p=0 ……{2}

{1}または{2}を満たす実数xの個数をnとおく。

(1) p=4,q=−4のとき、n=[ア]である。
  また、p=1,q=−2のときn=[イ]である。

(2) p=−6のとき、n=3になる場合を考える。

┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|花子:例えば、{1}と{2}をともに満たす実数xがあるときはn=3に|
|   なりそうだね。                     |
|太郎:それをαとしたら、α^2−6α+q=0とα^2+qα−6=0|
|   が成り立つよ。                     |
|花子:なるほど。それならば、α^2を消去すれば、αの値が求められ|
|   そうだね。                       |
|太郎:確かにαの値が求まるけど、実際にn=3となっているかどう|
|   かの確認が必要だね。                  |
|花子:これ以外にもn=3となる場合がありそうだね。      |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘

n=3となるqの値は

  q=[ウ],[エ]

である。ただし、[ウ]<[エ]とする。


(3) 花子さんと太郎さんは、グラフ表示ソフトを用いて、{1},{2}の左辺をyと
おいた2次関数y=x^2+px+qとy=x^2+qx+pのグラフの動きを考えて
いる。

p=−6に固定したまま、qの値だけを変化させる。

  y=x^2−6x+q ……{3}
  y=x^2+qx−6 ……{4}

の二つのグラフについて、q=1のときのグラフを点線で、qの値を1から増加
させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき、{3}のグラフの移動の様子を
示すと[オ]となり、{4}のグラフの移動の様子を示すと[カ]となる。

[オ],[カ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じ物を繰り返し選んでもよい。なお、x軸とy軸は省略しているが、
x軸は右方向、y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

グラフはこちら→http://www.a-ema.com/img/2022math1a21a.png


(4) [ウ]<q<[エ]とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合
A,Bを

  A={x|x^2−6x+q<0}
  B={x|x^2+qx−6<0}
                     _
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合をXと表す。このとき次のことが
成り立つ。

 ・x∈Aは、x∈Bであるための[キ]。
         _
 ・x∈Bは、x∈Aであるための[ク]。

[キ],[ク]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 必要条件であるが、十分条件ではない       |
|{1} 十分条件であるが、必要条件ではない       |
|{2} 必要十分条件である               |
|{3} 必要条件でも十分条件でもない          |
└――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 第2問[1]は2次方程式、2次関数、必要条件・十分条件
 ◆2 解の個数なら判別式

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 第2問[1]は2次方程式、2次関数、必要条件・十分条件

2022年共通テスト数学1A第2問[1]は、2次方程式、2次関数、必要・十分条件の
問題でした。
対話文も含む問題になっていますが、着実に読み取って解いていきましょう!

まず

  x^2+px+q=0 ……{1}
  x^2+qx+p=0 ……{2}

これらの2つの2次方程式があり、これらを満たす実数xの個数をnとしています。

解の個数についての問題なので、判別式を使うのがノーマルですが、それだけで
なく、実際に解がいくつになるかも考えた方が良い場合もあります。

高校数学の2次関数については、ブログでいろいろな論点について解説しています。
http://a-ema.seesaa.net/article/478441371.html
このメルマガとあわせて御覧ください。


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 ◆2 解の個数なら判別式

では(1)です。
pとqの値が与えられて、そのときのnの値を求めます。

まず「p=4,q=−4のとき」は、

x^2+4x−4=0 ……{1}
x^2−4x+4=0 ……{2}

です。
それぞれの判別式D=b^2−4acの値を求めます。

D1=4^2−4×1×(−4)=16+16=32>0
D2=(−4)^2−4×1×4=16−16=0

つまり・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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