高校数学「三角関数」「最大最小」ｙ＝ｓｉｎ2θ＋４ｓｉｎθ−１

高校数学「三角関数」「最大最小」ｙ＝ｓｉｎ²θ＋４ｓｉｎθ−１

■問題

ｙ＝ｓｉｎ²θ＋４ｓｉｎθ−１の最大値・最小値を求めよ。ただし、０≦θ＜２πとする。


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１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

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■解答解説

ｙ＝ｓｉｎ²θ＋４ｓｉｎθ−１の最大値・最小値を求めよ。ただし、０≦θ＜２πとする。

三角関数と２次関数の複合問題です。
方程式や不等式の場合と同じく、ｓｉｎθ＝ｔなどとおいて、まずは普通の２次関数の最大最小を考える場合と同じことをやります。
つまり、平方完成をして頂点を求める。ということです。

ｙ＝ｔ²＋４ｔ−１
　＝(ｔ＋２)²−１−４
　＝(ｔ＋２)²−５

よって、頂点は(−２，−５)

ここで、ｓｉｎθ＝ｔなので、−１≦ｔ≦１です。
サインの値は最大で１，最小で−１だから、ｔの範囲も−１から１というわけです。

ということは、この２次関数の頂点は定義域の外にあることになります。
つまり、定義域の両端が最大と最小になります。

ｔ＝−１のとき、ｙ＝(−１)²＋４×(−１)−１＝１−４−１＝−４
ｔ＝１のとき、ｙ＝１²＋４×１−１＝１＋４−１＝４

さらに、ｔ＝−１ならばｓｉｎθ＝−１で、このときのθは(３／２)πとなります。
同様にｔ＝１ならば、ｓｉｎθ＝１で、このときのθはπ／２です。

ということで、まとめると、

ｓｉｎθ＝−１すなわちθ＝(３／２)πのとき最小値−４
ｓｉｎθ＝１すなわちθ＝π／２のとき最大値４

となります。


◆関連問題
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