2023年07月23日

高校数学「三角関数」「最大最小」y=sin2θ+4sinθ−1

高校数学「三角関数」「最大最小」y=sin2θ+4sinθ−1

■問題

y=sin2θ+4sinθ−1の最大値・最小値を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

y=sin2θ+4sinθ−1の最大値・最小値を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。

三角関数と2次関数の複合問題です。
方程式や不等式の場合と同じく、sinθ=tなどとおいて、まずは普通の2次関数の最大最小を考える場合と同じことをやります。
つまり、平方完成をして頂点を求める。ということです。

y=t2+4t−1
 =(t+2)2−1−4
 =(t+2)2−5

よって、頂点は(−2,−5)

ここで、sinθ=tなので、−1≦t≦1です。
サインの値は最大で1,最小で−1だから、tの範囲も−1から1というわけです。

ということは、この2次関数の頂点は定義域の外にあることになります。
つまり、定義域の両端が最大と最小になります。

t=−1のとき、y=(−1)2+4×(−1)−1=1−4−1=−4
t=1のとき、y=12+4×1−1=1+4−1=4

さらに、t=−1ならばsinθ=−1で、このときのθは(3/2)πとなります。
同様にt=1ならば、sinθ=1で、このときのθはπ/2です。

ということで、まとめると、

sinθ=−1すなわちθ=(3/2)πのとき最小値−4
sinθ=1すなわちθ=π/2のとき最大値4

となります。


◆関連問題
y=sinθの最大最小
三角関数まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
コメントを書く
お名前: [必須入力]

メールアドレス: [必須入力]

ホームページアドレス:

コメント: [必須入力]


この記事へのトラックバック
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
江間淳の書籍一覧 → http://amzn.to/2m9LTvN