2023年07月26日

高校数学「三角関数」「最大最小」y=2sin2θ+2cosθ+4

高校数学「三角関数」「最大最小」y=2sin2θ+2cosθ+4

■問題

y=2sin2θ+2cosθ+4の最大値・最小値を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

y=2sin2θ+2cosθ+4ただし、0≦θ<2πとする。

三角関数と2次関数の複合問題です。
サインとコサインの両方が含まれている場合は、三角関数の相互関係を用いて、どちらか片方に統一します。

今回の問題では、サインの2乗があるので、sin2θ=1−cos2θでコサインにしてみましょう!

y=2(1−cos2θ)+2cosθ+4
 =2−2cos2θ+2cosθ+4
 =−2cos2θ+2cosθ+6

これでコサインについての2次関数になりました。
cosθ=tなどとおいて、普通の2次関数の最大最小を考える場合と同じことをやります。
つまり、平方完成をして頂点を求めます。

y=−2t2+2t+6
 =−2(t2−t)+6
 =−2(t2−t+1/4−1/4)+6
 =−2{(t−1/2)2−1/4}+6
 =−2(t−1/2)2+1/2+6
 =−2(t−1/2)2+13/2

よって、頂点の座標は(1/2,13/2)ですね。

−1≦cosθ≦1なので、−1≦t≦1だから、この頂点は定義域内にあります。
tの2乗の係数がマイナスなので上に凸だから、頂点は最大値です。

そして、定義域の両端のうち頂点から遠い方が最小値になります。
つまり、t=−1のときが最小です。

t=1をy=−2t2+2t+6に代入すると、
y=−2−2+6
 =2

まとめると、

t=1/2すなわちθ=π/3,(5/3)πのとき最大値13/2
t=−1すなわちθ=πのとき最小値2

このようになります。


◆関連問題
y=sinθの最大最小
三角関数まとめ


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