高校数学「三角関数」ｙ＝ｓｉｎｘ−３ｃｏｓｘの最大値・最小値

高校数学「三角関数」ｙ＝ｓｉｎｘ−３ｃｏｓｘの最大値・最小値

■問題

ｙ＝ｓｉｎｘ−３ｃｏｓｘの最大値・最小値を求めよ。ただし、０≦ｘ＜２πとする。


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１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

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■解答解説

ｙ＝ｓｉｎｘ−３ｃｏｓｘの最大値・最小値を求めよ。ただし、０≦ｘ＜２πとする。

まず、サインとコサインの両方があるときはどちらか片方に統一する。という方針です。
２次式ならば、三角関数の相互関係で統一できますが、この場合はどちらも１次式なので相互関係は使えないようです。

そこで、サインもコサインも両方とも１次式の場合は、三角関数の合成をします。

★　ａ・ｓｉｎｘ＋ｂ・ｃｏｓｘ＝{√(ａ²＋ｂ²)}ｓｉｎ(ｘ＋α)

ですね。今回の問題では、ａ＝１，ｂ＝−３なので、

ｙ＝ｓｉｎｘ−３ｃｏｓｘ
　＝√{１²＋(−３)²}・ｓｉｎ(ｘ＋α)
　＝√１０・ｓｉｎ(ｘ＋α)

となります。
サインの値は、単位円１周以上の定義域ならば、−１から１なので、係数に√１０がついているならば、最大値・最小値もそれぞれ√１０倍です。
つまり、

最大値√１０，最小値−√１０


◆関連問題
ｙ＝ｓｉｎθの最大最小
三角関数の合成、三角関数まとめ


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