■問題
ｓｉｎα＝４／５，ｓｉｎβ＝１２／１３のとき、次の値を求めよ。ただし、０＜α＜π／２，π／２＜β＜πとする。
(1) ｓｉｎ(α＋β) (2) ｃｏｓ(α－β)
(3) ｓｉｎ２α (4) ｃｏｓ２β
(5) ｔａｎ２α (6) ｓｉｎ(α／２)
この記事では(5), (6)を解説します。
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１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
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■解答解説
ｓｉｎα＝４／５，ｓｉｎβ＝１２／１３のとき、次の値を求めよ。ただし、０＜α＜π／２，π／２＜β＜πとする。
(5) ｔａｎ２α (6) ｓｉｎ(α／２)
(1)で、ｃｏｓα＝３／５，ｃｏｓβ＝－５／１２であることを求めました。
今回もこれらの条件は同じです。
(5)はｔａｎ２αなので、タンジェントの２倍角の公式を使っても良いですが、
すでに(3)でｓｉｎ２αを出していますし、三角関数の相互関係を使った方が簡単かも知れません。
ｓｉｎ2２α＋ｃｏｓ2２α＝１
(２４／２５)2＋ｃｏｓ2２α＝１
５７６／６２５＋ｃｏｓ2２α＝１
ｃｏｓ2２α＝１－５７６／６２５
ｃｏｓ2２α＝４９／６２５
ｃｏｓ２α＝±７／２５
ここで、ｓｉｎ２α＝２４／２５＞１／√２だから、π／２＜２α＜πなので、
ｃｏｓ２α＝－７／２５
ｔａｎ２α＝ｓｉｎ２α／ｃｏｓ２α
＝(２４／２５)／(－７／２５)
＝－２４／７
(6)は半角の公式を使います。
半角の公式はコサインの２倍角から導くことができます。
導き方はここに掲載しています。
導くと、
★ ｓｉｎ2(θ／２)＝(１－ｃｏｓθ)／２
ですね。
つまり、
ｓｉｎ2(α／２)＝(１－ｃｏｓα)／２
です。これにｃｏｓα＝３／５を代入して、
ｓｉｎ2(α／２)＝(１－３／５)／２
ｓｉｎ2(α／２)＝(２／５)／２＝１／５
よって、ｓｉｎ(α／２)＝１／√５＝√５／５
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ラベル：数学
