2023年08月04日

高校数学「三角関数」サイン、コサイン、タンジェントの値B

高校数学「三角関数」サイン、コサイン、タンジェントの値B

■問題

sinα=4/5,sinβ=12/13のとき、次の値を求めよ。ただし、0<α<π/2,π/2<β<πとする。

(1) sin(α+β)  (2) cos(α−β)

(3) sin2α  (4) cos2β

(5) tan2α  (6) sin(α/2)


この記事では(5), (6)を解説します。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

sinα=4/5,sinβ=12/13のとき、次の値を求めよ。ただし、0<α<π/2,π/2<β<πとする。
(5) tan2α  (6) sin(α/2)

(1)で、cosα=3/5,cosβ=−5/12であることを求めました。
今回もこれらの条件は同じです。

(5)はtan2αなので、タンジェントの2倍角の公式を使っても良いですが、
すでに(3)でsin2αを出していますし、三角関数の相互関係を使った方が簡単かも知れません。

sin22α+cos22α=1
(24/25)2+cos22α=1
576/625+cos22α=1
cos22α=1−576/625
cos22α=49/625
cos2α=±7/25

ここで、sin2α=24/25>1/√2だから、π/2<2α<πなので、
cos2α=−7/25

tan2α=sin2α/cos2α
    =(24/25)/(−7/25)
    =−24/7

(6)は半角の公式を使います。
半角の公式はコサインの2倍角から導くことができます。
導き方はここに掲載しています。
導くと、

★ sin2(θ/2)=(1−cosθ)/2

ですね。
つまり、

sin2(α/2)=(1−cosα)/2

です。これにcosα=3/5を代入して、

sin2(α/2)=(1−3/5)/2
sin2(α/2)=(2/5)/2=1/5
よって、sin(α/2)=1/√5=√5/5


この問題の最初に戻る→(1) sin(α+β)  (2) cos(α−β)


◆関連問題
sin22.5°
2倍角の公式半角の公式
三角関数まとめ


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ラベル:数学
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