■問題
ｃｏｓθ＝－１／３のとき、ｓｉｎθ，ｔａｎθの値をそれぞれ求めよ。
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！
■解答解説
ｃｏｓθ＝－１／３のとき、ｓｉｎθ，ｔａｎθの値をそれぞれ求めよ。
三角関数は、サイン・コサイン・タンジェントのうちどれか１つだけでもわかれば、残りの２つを求めることができます。
それには・・・三角関数の相互関係の公式を使います。
★ ｓｉｎ2θ＋ｃｏｓ2θ＝１
★ ｔａｎθ＝ｓｉｎθ／ｃｏｓθ
公式はいろいろありますが、まずはこの２つだけで大丈夫です！
今回のようにコサインがわかっている場合(サインがわかっている場合も)は、上の公式
★ ｓｉｎ2θ＋ｃｏｓ2θ＝１
を使います。
これは「サインの２乗とコサインの２乗を足したら１」という意味だから、どちらか片方がわかればもう片方がわかる。というわけです。
ｃｏｓθ＝－１／３とあるので、代入して計算してみましょう！
ｓｉｎ2θ＋(－１／３)2＝１
ｓｉｎ2θ＋１／９＝１
ｓｉｎ2θ＝１－１／９
ｓｉｎ2θ＝８／９
よって、ｓｉｎθ＝±√(８／９)＝±２√２／３
数学２では角度は「一般角」なので、サインの値もマイナスになる場合があります。
だから、プラスマイナスの符号を忘れずに！
サインは０°～１８０°すなわち０～πの範囲ではプラス、１８０°～３６０すなわちπ～２πの範囲ではマイナスです。
「単位円の上半分ではプラス、下半分ではマイナス」というイメージです。
今回の問題では、θの範囲に特に指定がないので、これらの両方の場合があります。
だから、サインの値はこれら両方が正解で、タンジェントはそれぞれの場合の値を求める必要があります。
ここまでで、コサインとサインの両方がわかりました。そしてタンジェントの値を求めたい。という状況です。
そんなときは、下の公式を使いましょう！
★ ｔａｎθ＝ｓｉｎθ／ｃｏｓθ
「タンジェントはコサイン分のサイン」です。
「ｔａｎθ＝ｙ／ｘだから、コサインが分母、サインが分子」と理解しておくと覚えやすいと思います。
ではこれにサインとコサインの値を代入して計算していきましょう！
ｓｉｎθ＝２√２／３のとき、ｔａｎθ＝(２√３／３)／(－１／３)＝２√３／(－１)＝－２√３
ｓｉｎθ＝－２√２／３のとき、ｔａｎθ＝(－２√３／３)／(－１／３)＝２√３
つまりこの場合、サインがプラスのときはタンジェントはマイナス。
サインがマイナスのときはタンジェントはプラス。
となります。
解答の値は、サインとタンジェントの符号が異なることを示せるように書きます。
つまり、
ｓｉｎθ＝２√２／３，ｔａｎθ＝－２√３またはｓｉｎθ＝－２√２／３，ｔａｎθ＝２√３
と書いてもいいですし、
ｓｉｎθ＝±２√２／３，ｔａｎθ＝∓２√３
と書いてもＯＫです。
◆関連項目
相互関係(数学１)
三角関数まとめ
江間淳の書籍はこちら
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！
プロ家庭教師の江間です。 ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/ http://www.a-ema.com/j/
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ラベル：数学
