2023年08月06日

高校数学「三角関数」sinθ−cosθ=1/2のとき

高校数学「三角関数」sinθ−cosθ=1/2のとき

■問題

sinθ−cosθ=1/2のとき、sinθ+cosθの値を求めよ。ただし、π<θ<(3/2)πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!



■解答解説

sinθ−cosθ=1/2のとき、sinθ+cosθの値を求めよ。ただし、π<θ<(3/2)πとする。

このように、サインとコサインの式が与えられているときは、両辺を2乗するとうまくいくことがあります。
三角関数の相互関係

★ sin2θ+cos2θ=1

これを使えば、サインの2乗とコサインの2乗をまとめて1に置き換えることができるので、複雑に見える式が一気にシンプルになるからです。早速やってみましょう!

(sinθ−cosθ)2=(1/2)2
sin2θ−2sinθcosθ+cos2θ=1/4
1−2sinθcosθ=1/4
 −2sinθcosθ=1/4−1
 −2sinθcosθ=−3/4
   sinθcosθ=3/8

続いて、求める式のsinθ+cosθも2乗してみましょう!

 (sinθ+cosθ)2
=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ

sin2θ+cos2θ=1,sinθcosθ=3/8を代入すると、

=1+2×3/8
=1+3/4
=7/4

2乗した値が7/4ということは、求めるsinθ+cosθはこれの平方根となります。
π<θ<(3/2)θだから、第3象限で、sinθ<0,cosθ<0です。
ならば、sinθ+cosθ<0ですね。

よって、sinθ+cosθ=−√7/2


◆関連項目
相互関係(数学1)コサイン→サイン、タンジェント
三角関数まとめ


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ラベル:数学
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