◆問題
全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図１のように、点Ｏを中心として半径ｒ，速さｖで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数ｆ0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数ｆを測定する。
音源と観測者の位置をそれぞれ点Ｐ，Ｑとする。点Ｑから円に引いた２本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をＡ，遠ざかりながら通過する方をＢとする。また、直線ＯＱが円と交わる２点のうち観測者に近い方をＣ，遠い方をＤとする。ｖは音速Ｖより小さく、風は吹いていない。
問１ 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Ｃから点Ｄまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をｍとする。
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◆解答解説
まずは、円運動をしている物体の向心力と仕事についての設問です。
「音を出している」「観測者」「風はない」などの情報がありますが、問１に関して必要な情報は要するに、
「質量ｍの物体が速さｖで円運動をしている」
です。
この条件の向心力と仕事を求めればＯＫ！というわけです。
向心力はＦ＝ｍｒω2ですね。
ω＝ｖ／ｒでωを消去すると、
Ｆ＝ｍｖ2／ｒ
この式が得られます。
今回の問題でも、音源の質量はｍ，速さはｖ，円運動の半径はｒだから、このままで向心力の式は完成です！
そして仕事は「仕事＝力×距離」ですが、この距離は「力の方向に動いた距離」なので、向心力のした仕事はゼロです。
向心力は常に円の中心方向です。
円周上を動く物体の運動の方向は常に円周方向です。つまり、接線の方向です。
だから、向心力の向きと物体の運動の向きは常に直角です。
というわけで、「力の方向に動いた距離」はゼロだから、仕事もゼロ。となります。
つまり解答は、
向心力・・・ｍｖ2／ｒ，仕事・・・０
次の問題→ｆとｆ0が等しくなるとき
◆関連項目
円運動、向心力、仕事
円運動まとめ
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