◆問題
全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図１のように、点Ｏを中心として半径ｒ，速さｖで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数ｆ0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数ｆを測定する。
音源と観測者の位置をそれぞれ点Ｐ，Ｑとする。点Ｑから円に引いた２本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をＡ，遠ざかりながら通過する方をＢとする。また、直線ＯＱが円と交わる２点のうち観測者に近い方をＣ，遠い方をＤとする。ｖは音速Ｖより小さく、風は吹いていない。
問１ 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Ｃから点Ｄまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をｍとする。
問２ 空欄に入る記号を図２の点の中から全て選べ。
音源の等速円運動にともなってｆは周期的に変化するるこれは音源の速度の直線ＰＱ方向の成分によるドップラー効果がおこるからである(図２)。このことから、ｆがｆ0と等しくなるのは、音源が[ ]を通過したときに出した音を測定した場合であることがわかる。
問３ 音源が点Ａ，点Ｂを通過したときに出した音を観測者が測定したところ、振動数はそれぞれｆA，ｆBであった。ｆAと音源の速さｖを表す式を求めよ。
問３の解答解説はこのページ下
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◆解答解説
音源や観測者が移動していると、ドップラー効果により、音の振動数が変化して聞こえます。
観測者が観測する音の振動数をｆ，音源から出る音の振動数をｆ0，音速をＶ，音源の速度をｖs，観測者の速度をｖoとすると、以下の式が成り立ちます。
★ｆ＝{(Ｖ－ｖo)／(Ｖ－ｖs)}ｆ0
今回の問題の点Ａでは、音源の円運動の接線方向に観測者がいるので、ｖs＝ｖとなります。
観測者は動いていないので、ｖo＝０ですね。
ということで、
ｆA＝{Ｖ／(Ｖ－ｖ)}ｆ0
これでｆAを表すことができました。
さらに、ｖも聞いているので、ｆBも出しておきましょう！
点Ｂでの接線上に観測者がいて、音源は観測者から速さｖで遠ざかるので、ｖs＝－ｖとなります。だから、
ｆB＝{Ｖ／(Ｖ＋ｖ)}ｆ0
これらを合成して、ｆ0を消去し、ｖについて解けばＯＫです。
ｆBの式の両辺に(Ｖ＋ｖ)をかけると、
ｆB(Ｖ＋ｖ)＝Ｖｆ0
これをｆAの式に代入すれば、
ｆA＝ｆB(Ｖ＋ｖ)／(Ｖ－ｖ)
ｆA(Ｖ－ｖ)＝ｆB(Ｖ＋ｖ)
ｆAＶ－ｆAｖ＝ｆBＶ＋ｆBｖ
－ｆAｖ－ｆBｖ＝－ｆAＶ＋ｆBＶ
ｖ(ｆA＋ｆB)＝Ｖ(ｆA－ｆB)
ｖ＝Ｖ(ｆA－ｆB)／(ｆA＋ｆB)
次の問題→音源と観測者を入れ替えた場合
◆関連項目
円運動、ドップラー効果
円運動まとめ、波動まとめ
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