■問題
三角不等式ｃｏｓ２θ＋９ｓｉｎθ＋４＜０を解け。ただし、０＜θ＜２πとする。
↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓
１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！
■解答解説
三角不等式ｃｏｓ２θ－９ｓｉｎθ＋４＜０を解け。ただし、０＜θ＜２πとする。
このように角度の部分が一致していないときは、まずは角度を合わせます。
２倍角の公式を使ってみましょう！
★ ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ2θ－ｓｉｎ2θ
まず２倍角の公式はコレです。
あとは、式がサインだけかコサインだけになるようにさらに変形します。
今回はサインの１次の項が含まれているので、サインに統一します。
三角関数の相互関係を使って、
★ ｃｏｓ２θ＝(１－ｓｉｎ2θ)－ｓｉｎ2θ
＝１－２ｓｉｎ2θ
というわけで、与式は
１－２ｓｉｎ2θ＋９ｓｉｎθ＋４＜０
－２ｓｉｎ2θ＋９ｓｉｎθ＋５＜０
２ｓｉｎ2θ－９ｓｉｎθ－５＞０
このように書き換えることができます。
あとはサインの２次不等式と考えて解けばＯＫですね！
(２ｓｉｎθ＋１)(ｓｉｎθ－５)＞０
よって、ｓｉｎθ＜－１／２，ｓｉｎθ＞５
－１≦ｓｉｎθ≦１だから、求めるｓｉｎθの値は、ｓｉｎθ＜－１／２
このようになるθの範囲は、(７／６)π＜θ＜(１１／６)π
◆関連項目
２倍角の公式、三角方程式ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓθ
三角関数まとめ
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ラベル：数学
