2023年08月14日

中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題A

中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題A

◆問題

座標平面上に、直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2があり、直線lとx軸,y軸との交点をそれぞれA,B、直線mとx軸,y軸との交点をそれぞれC,Dとする。また、直線lと直線mの交点をPとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 2点A,Dを通る直線の式を求めよ。

(2) △BPCを直線BCに平行な直線で2つの部分に分けたとき、頂点Pの側にできる三角形の面積が△BPCの面積の1/4になった。このときの直線の式を求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


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◆解答・解説

「直線BCに平行な直線」とあるので、まずは直線BCの式(傾き)を求めましょう!

Bは直線lの切片なので、直線BCの切片も4となります。

Cは直線mとx軸との交点なので、y=0を代入して計算します。

0=(−1/3)x+2
0=−x+6
x=6

つまり、C(6,0)です。

y=ax+bに、b=4,x=6,y=0を代入すると、
  0=6a+4
−6a=4
  a=−2/3

よって、直線BCの式はy=(−2/3)x+4となります。
そして、直線BCと平行な直線は傾きが−2/3です。
「平行な直線は傾きが等しい」という性質があります。そしてBCの傾きは−2/3だから、求める直線の傾きも−2/3です。

あとは「面積が1/4」という条件について考える必要があります。
BCに平行な直線で△BPCを切ると、点P側の三角形は、△BPCと形が同じつまり相似になります。
平行線の同位角は等しいので、2組の角がそれぞれ等しいので、相似ですね。

相似な図形で面積が1/4の場合は・・・

「相似比が1:2」です。

底辺も高さも1:2だから、面積は1/4となります。

相似比が1:2になればいいのだから、求める直線はBP(とCP)の中点を通ればいい。ということができます。


Pの座標はまだ求めていなかったので、ここで求めてみましょう!
Pは直線lと直線mの交点だから、これらの直線の式を連立して解けばOKです。

y=−2x+4,y=(−1/3)x+2の右辺同士をイコールで結んで、解きます。

 −2x+4=(−1/3)x+2
−6x+12=−x+6
   −5x=−6
     x=6/5

これをy=−2x+4に代入して、
y=−2×6/5+4
 =−12/5+20/5
 =8/5

つまり、P(6/5,8/5)です。

そしてBPの中点は、Bの座標とPの座標の平均です。
x座標・・・(0+6/5)÷2=3/5
y座標・・・(4+8/5)÷2=14/5

だから、BPの中点(3/5,14/5)です。

というわけで、傾きが−2/3で、(3/5,14/5)を通る直線が求める直線です。
y=ax+bに代入して計算していきましょう!

14/5=(−2/3)×(3/5)+b
14/5=−2/5+b
−b=−2/5−14/5
−b=−16/5
 b=16/5

だいぶ長くなりましたが、というわけで、求める直線は、

y=(−2/3)x+16/5


◆関連項目
交点y軸上で交わる条件平行な直線
1次関数まとめ
相似比と面積比


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