■ 問題
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
ｙ＝ｌｏｇｘ＋１，ｙ＝１／ｘ，ｘ＝ｅ
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
関数の種類にかかわらず、座標平面上の図形の面積は、「上引く下で定積分」です。
というわけで、それぞれの関数の形と交点等を調べていきましょう！
まず、ｙ＝ｌｏｇｘ＋１とｙ＝１／ｘの２つの関数それぞれにｘ＝１を代入するとｙ＝１になるので、これらの２つの関数の交点は、(１，１)となります。
そして、ｙ＝ｌｏｇｘはｙ軸を漸近線とする右上がりの曲線で、ｙ＝ｌｏｇｘ＋１はそれをｙ軸方向に１だけ平行移動したものです。
ｙ＝１／ｘはｘ軸を漸近線とする右下がりの曲線です。
ということは、(１，１)で２曲線が交わって、それより右で再び交わることはない。ということができます。
だから、途中で２曲線の上下が入れ替わることはありません。
つまり、定積分の区間は、１～ｅとすればＯＫです。
というわけで、
Ｓ＝∫[1～e](ｌｏｇｘ＋１－１／ｘ)ｄｘ
これを計算すれば求める面積が出るということになります。
やっていきましょう！
＝[ｘｌｏｇｘ－ｘ＋ｘ－ｌｏｇｘ][1～e]
＝[ｘｌｏｇｘ－ｌｏｇｘ][1～e]
＝(ｅ・ｌｏｇｅ－ｌｏｇｅ)－(１・ｌｏｇ１－ｌｏｇ１)
＝ｅ－１－(０－０)
＝ｅ－１
◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ
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ラベル：数学
