2023年09月03日

高校数学「微分」f(x)=x+√(2−x2)の最大値・最小値

高校数学「微分」f(x)=x+√(2−x2)の最大値・最小値

■ 問題

xについての関数f(x)=x+√(2−x2)の最大値・最小値を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

この問題には定義域が与えられていませんが、式から定義域が決まる場合もあります。

√(2−x2)の部分の√の中身はゼロ以上でなければいけないですね。
つまり、2−x2≧0です。これを解くと、−√2≦x≦√2であり、この範囲外の場合、√の中身がマイナスになってしまい不適となります。

だから、このf(x)の定義域は−√2≦x≦√2ということができます。
この範囲で増減表を書くなどして、最大最小を求めていきます。

増減を考えるために、まずは与式を微分します。

f'(x)=1+(1/2)・(2−x2)'/(2−x2)-1/2
  =1+(−2x/2)・1/√(2−x2)
  =1−x/√(2−x2)
  ={√(2−x2)−x}/√(2−x2)

これで導関数ができました。

f'(1)=0
f(1)=1+√(2−1)=2
f(−√2)=−√2+√(2−2)=−√2
f(√2)=√2+√(2−2)=√2

だから、増減表は以下のようになります。

 x|−√2| |1| |√2|
f'(x)| / |+|0|−|/|
f(x)|−√2|↗|2|↘|√2|

というわけで、

x=−√2のとき最小値−√2
x=1のとき最大値2


◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 19:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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