2023年09月04日

高校数学「三角関数」y=sinxcosx+sinx+cosxの最大最小@

高校数学「三角関数」y=sinxcosx+sinx+cosxの最大最小@

■問題

関数y=sinxcosx+sinx+cosxについて次の問いに答えよ。

(1) t=sinx+cosxとして、与式をtで表せ。


解答解説はこのページ下


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

三角関数では、与式を2乗するとうまくいくことがあります。
三角関数の相互関係sin2x+cos2x=1を使うことができ、シンプルな式になる場合があるからです。
今回もまずはtの式を2乗してみましょう!

2=(sinx+cosx)2
 =sin2x+2sinxcosx+cos2
 =1+2sinxcosx

相互関係を使うことによって、結構シンプルな式になりましたね。
これをsinxcosxについて解けば、

2sinxcosx=t2−1
 sinxcosx=(t2−1)/2

与式にこれとt=sinx+cosxを当てはめると、

y=(t2−1)/2+t

式の形に特に指示はないので、今回の設問はこれで終わりでも構いませんが、tについて降べきの順に整理しておく方が良いでしょう!

y=t2/2+t−1/2


次の問題→tの範囲


◆関連項目
三角比の相互関係
y=2sin2θ+2cosθ+4の最大値・最小値
三角関数まとめ


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