■問題
関数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘについて次の問いに答えよ。
(1) ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘとして、与式をｔで表せ。
(2) (1)のとき、ｔの値の範囲を求めよ。
(2)の解答解説はこのページ下
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１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方
「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！
■解答解説
ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘとしたときの、ｔの値の範囲を求めます。
－１≦ｓｉｎｘ≦１，－１≦ｃｏｓｘ≦１だから・・・
－２≦ｔ≦２
となりそうですが、実はそうではありません。
ｓｉｎｘとｃｏｓｘのｘは共通で、例えばｘ＝π／３なら、ｔ＝ｓｉｎ(π／３)＋ｃｏｓ(π／３)です。
ｓｉｎｘとｃｏｓｘはそれぞれ変化していて、ｓｉｎｘが最大のときにｃｏｓｘも最大となるわけではありません。
だから、それぞれの最大値は１だけど、合計の最大値が２になるわけではないのです。
それではどうしたら良いかというと、三角関数の合成ですね。
三角関数の合成をすれば、サインとコサインがあった式をサインだけにすることができます。
三角関数の合成のやり方はこちらをご覧ください。
ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ
＝√２・ｓｉｎ(ｘ＋π／４)
合成すると、このように直すことができます。
－１≦ｓｉｎｘ≦１
－１≦ｓｉｎ(ｘ＋π／４)≦１
－√２≦ｓｉｎ(ｘ＋π／４)≦√２
よって、－√２≦ｔ≦√２
次の問題→ｙの最大値・最小値
◆関連項目
三角比の相互関係、三角関数の合成
ｙ＝２ｓｉｎ2θ＋２ｃｏｓθ＋４の最大値・最小値
三角関数まとめ
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ラベル：数学
