2023年09月05日

高校数学「三角関数」y=sinxcosx+sinx+cosxの最大最小A

高校数学「三角関数」y=sinxcosx+sinx+cosxの最大最小A

■問題

関数y=sinxcosx+sinx+cosxについて次の問いに答えよ。

(1) t=sinx+cosxとして、与式をtで表せ。

(2) (1)のとき、tの値の範囲を求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

t=sinx+cosxとしたときの、tの値の範囲を求めます。

−1≦sinx≦1,−1≦cosx≦1だから・・・

−2≦t≦2

となりそうですが、実はそうではありません。
sinxとcosxのxは共通で、例えばx=π/3なら、t=sin(π/3)+cos(π/3)です。
sinxとcosxはそれぞれ変化していて、sinxが最大のときにcosxも最大となるわけではありません。
だから、それぞれの最大値は1だけど、合計の最大値が2になるわけではないのです。

それではどうしたら良いかというと、三角関数の合成ですね。
三角関数の合成をすれば、サインとコサインがあった式をサインだけにすることができます。

三角関数の合成のやり方はこちらをご覧ください。

t=sinx+cosx
 =√2・sin(x+π/4)

合成すると、このように直すことができます。

−1≦sinx≦1
−1≦sin(x+π/4)≦1
−√2≦sin(x+π/4)≦√2

よって、−√2≦t≦√2


次の問題→yの最大値・最小値


◆関連項目
三角比の相互関係三角関数の合成
y=2sin2θ+2cosθ+4の最大値・最小値
三角関数まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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