2023年09月05日

高校数学「三角関数」y=sinxcosx+sinx+cosxの最大最小B

高校数学「三角関数」y=sinxcosx+sinx+cosxの最大最小B

■問題

関数y=sinxcosx+sinx+cosxについて次の問いに答えよ。

(1) t=sinx+cosxとして、与式をtで表せ。

(2) (1)のとき、tの値の範囲を求めよ。

(3) 0≦x≦2πとして、yの最大値・最小値を求めよ。


(3)の解答解説はこのページ下


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!



■解答解説

(1)から与式は、「y=t2/2+t−1/2」と表すことができて、
(2)からtの範囲は「−√2≦t≦√2」であることがわかりました。

yの最大最小を求めるには、これらの情報をもとに、普通に2次関数の最大最小をやっていけばOKというわけです。

2次関数の最大最小なら、平方完成&頂点ですね!

y=t2/2+t−1/2
 =(1/2)(t2+2t)−1/2
 =(1/2){(t+1)2−1}−1/2
 =(1/2)(t+1)2−1/2−1/2
 =(1/2)(t+1)2−1

よって、頂点(t,y)=(−1,−1)

定義域は−√2≦t≦√2だから、頂点は定義域内にあります。
下に凸の放物線なので、頂点が最小値になります。

このときのxの値も求めておきましょう!
t=√2・sin(x+π/4)だから、

√2・sin(x+π/4)=−1
  sin(x+π/4)=−1/√2
よって、x+π/4=(5/4)π,(7/4)πすなわち、x=π,(3/2)π


そして、定義域の両端のうち、頂点から遠い方が最大値となります。
つまり、t=√2の場合が最大値になります。

y=(√2)2/2+√2−1/2
 =1+√2−1/2
 =√2+1/2

このときのxの値は、

√2・sin(x+π/4)=√2
  sin(x+π/4)=1
よって、x+π/4=π/2すなわちx=π/4

というわけで、求める最大値・最小値は、

x=π,(3/2)πのとき、最小値−1
x=π/4のとき最大値√2+1/2

このようになります。


この問題の最初に戻る


◆関連項目
2次関数の最大最小の求め方平方完成のやり方
三角比の相互関係三角関数の合成
y=2sin2θ+2cosθ+4の最大値・最小値
三角関数まとめ


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