◆問題
第４問
物理の授業でコンデンサーの電気容量を測定する実験を行った。まず、コンデンサーの基本的性質を復習するため、図１のような真空中に置かれた平行平板コンデンサーを考える。極板の面積をＳ、極板間隔をｄとする。
問１ 次の文章中の空欄[ア]・[イ]に入れる式の組み合わせとして正しいものを、後の①～⑧のうちから１つ選べ。[ 21 ]
図１のコンデンサーに電気量Ｑが蓄えられているときの極板間の電圧をＶとする。極板間の電場(電界)が一様であるとすると、極板間の電場の大きさＥとＶ，ｄの間にはＥ＝[ア]の関係が成り立つ。また、真空中でのクーロンの法則の比例定数をｋ0とすると、２つの極板間には４πｋ0Ｑ本の電気力線があると考えられ、電気力線の本数と電場の大きさの関係を用いるとＥが求められる。これと[ア]が等しいことからＱはＶに比例してＱ＝ＣＶと表せることがわかる。このとき比例定数(電気容量)はＣ＝[イ]となる。
[ア]・・・Ｖｄ，ｖ／ｄ
[イ]・・・４πｋ0ｄＳ，ｄＳ／４πｋ0，４πｋ0Ｓ／ｄ，Ｓ／４πｋ0ｄ
この記事では、解答はア，イそれぞれを選ぶ形にしました。
解答はこのページ下に掲載します。
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◆解答
まずは一般的に成り立つコンデンサーについての式の設問です。
図１のコンデンサーに電気量Ｑが蓄えられているときの極板間の電圧をＶとする。極板間の電場(電界)が一様であるとすると、極板間の電場の大きさＥとＶ，ｄの間にはＥ＝[ア]の関係が成り立つ。また、真空中でのクーロンの法則の比例定数をｋ0とすると、２つの極板間には４πｋ0Ｑ本の電気力線があると考えられ、電気力線の本数と電場の大きさの関係を用いるとＥが求められる。これと[ア]が等しいことからＱはＶに比例してＱ＝ＣＶと表せることがわかる。このとき比例定数(電気容量)はＣ＝[イ]となる。
極板間の電圧が高ければ電場も強く、極板間の距離が大きければ電場は弱くなる。という関係があるので、
Ｖ＝Ｅｄであり、Ｅ＝Ｖ／ｄですね。
つまり、[ア]はＶ／ｄです。
極板全体の間の電気力線の本数は４πｋ0Ｑで、極板の面積はＳだから、一定面積あたりの電気力線の本数は４πｋ0Ｑ／Ｓ本となります。
つまり、Ｅ＝４πｋ0Ｑ／Ｓです。
Ｅ＝Ｖ／ｄであり、Ｅ＝４πｋ0Ｑ／Ｓだから、Ｖ／ｄ＝４πｋ0Ｑ／Ｓですね。
つまり、Ｖ＝４πｋ0Ｑｄ／Ｓです。
Ｑ＝ＣＶにこれを代入すると、
Ｑ＝Ｃ・４πｋ0Ｑｄ／Ｓより、Ｃ＝Ｓ／４πｋ0ｄ
つまり、[イ]はＳ／４πｋ0ｄです。
次の問題→実験で用いた抵抗の値
◆関連項目
コンデンサー、電気容量、球面上の電気力線
電気・磁気まとめ
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