高校数学「積分」曲線ｙ＝ｅx，接線，ｙ軸とで囲まれた図形の面積

高校数学「積分」曲線ｙ＝ｅ^x，接線，ｙ軸とで囲まれた図形の面積

■　問題

曲線ｙ＝ｅ^xと、原点からこの曲線に引いた接線、ｙ軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

まずは接線の方程式を求めましょう！

接点のｘ座標をａとすると、ｙ座標はｅ^aですね。
つまり、接点は(ａ，ｅ^a)です。

与式を微分して、

ｙ'＝(ｅ^x)'
ｙ'＝ｅ^x

接点のｘ座標はａだから、接線の傾きはｅ^aとなります。

よって接線の方程式は、

ｙ−ｅ^a＝ｅ^a(ｘ−ａ)

展開してまとめると、

ｙ＝ｅ^aｘ−ｅ^aａ＋ｅ^a
　＝ｅ^aｘ−ｅ^a(ａ−１)

接線は原点を通るので、(０，０)を代入して、

０＝−ｅ^a(ａ−１)
ｅ^a≠０だから、ａ−１＝０すなわちａ＝１

よって、接線の方程式はｙ＝ｅｘ，接点は(１，ｅ)となります。
さらに、接線は原点を通る直線なので、ｙ＝ｅ^xの定積分から三角形を引くと、求める面積が出ます。

　∫[0〜1]ｅ^xｄｘ
＝[ｅ^x][0〜1]
＝ｅ−１

三角形は、底辺が１，高さがｅだから、面積は１×ｅ÷２＝ｅ／２

これらを差し引いて、

ｅ−１−ｅ／２＝ｅ／２−１

これが求める面積となります。


◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ


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