高校数学「三角関数」三角不等式ｓｉｎ２ｘ＞√２・ｃｏｓｘ

高校数学「三角関数」三角不等式ｓｉｎ２ｘ＞√２・ｃｏｓｘ

■問題

三角不等式ｓｉｎ２ｘ＞√２・ｃｏｓｘを解け。ただし、０≦ｘ＜２πとする。

解答解説はこのページ下


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１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！



■解答解説

三角不等式ｓｉｎ２ｘ＞√２・ｃｏｓｘを解け。ただし、０≦ｘ＜２πとする。

角度の部分が２ｘとｘで異なっているので、まずはどちらか片方に合わせます。
サインの２倍角の公式を使うと、

２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＞√２・ｃｏｓｘ

このように直すことができます。
移項して因数分解すれば、

２ｓｉｎｘｃｏｓｘ−√２・ｃｏｓｘ＞０
√２・ｃｏｓｘ(√２・ｓｉｎｘ−１)＞０
　　ｃｏｓｘ(√２・ｓｉｎｘ−１)＞０

この式は、「ｃｏｓｘと(√２・ｓｉｎｘ−１)をかけたらゼロより大きい」ことを意味します。
２つのものをかけてゼロより大きい、つまりプラスになるのは、

・プラスとプラス
・マイナスとマイナス

の２パターンです。つまり、

ｃｏｓｘ＞０，√２・ｓｉｎｘ−１＞０
または
ｃｏｓｘ＜０，√２・ｓｉｎｘ−１＜０

これらをそれぞれ解いたものが、この不等式の解となるわけです。

(i) ｃｏｓｘ＞０，√２・ｓｉｎｘ−１＞０
ｃｏｓｘ＞０より、０≦ｘ＜π／２，(３／２)π＜ｘ＜２π
√２・ｓｉｎｘ−１＞０より、ｓｉｎｘ＞１／√２だから、π／４＜ｘ＜(３／４)π
これらの共通範囲は、π／４＜ｘ＜π／２

(ii) ｃｏｓｘ＜０，√２・ｓｉｎｘ−１＜０
ｃｏｓｘ＜０より、π／２＜ｘ＜(３／２)π
√２・ｓｉｎｘ−１＜０より、ｓｉｎｘ＜１／√２だから、０≦ｘ＜π／４，(３／４)π＜ｘ＜２π
これらの共通範囲は、(３／４)π＜ｘ＜(３／２)π

というわけで、求める解は、

π／４＜ｘ＜π／２，(３／４)π＜ｘ＜(３／２)π


◆関連項目
ｃｏｓ２θ＋９ｓｉｎθ＋４＜０
三角関数まとめ


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