2023年09月15日

本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学2B第4問

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程数学2B第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

2021年共通テスト第1日程数2Bより

第4問

 初項3,公差pの等差数列を{an}とし、初項3,公比rの等比数列を{bn}と
する。ただし、p≠0かつr≠0とする。さらに、これらの数列が次を満たすと
する。

  an・bn+1−2an+1・bn+3bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{1}

(1) pとrの値を求めよう。自然数nについて、an,an+1,bnはそれぞれ

  an=[ア]+(n−1)p ……{2}
  an+1=[ア]+np ……{3}
  bn=[イ]r^(n-1)

と表される。r≠0により、すべての自然数nについて、bn≠0となる。
bn+1/bn=rであることから、{1}の両辺をbnで割ることにより

  [ウ]an+1=r(an+[エ]) ……{4}

が成り立つことがわかる。{4}に{2}と{3}を代入すると

  (r−[オ])pn=r(p−[カ])+[キ] ……{5}

となる。{5}がすべてのnで成り立つことおよびp≠0により、r=[オ]を得る。
さらに、このことから、p=[ク]を得る。
 以上から、すべての自然数nについて、anとbnが正であることがわかる。


(2) p=[ク],r=[オ]であることから、{an},{bn}の初項から第n項までの
和は、それぞれ次の式で与えられる。

  Σ[k=1〜n]ak=([ケ]/[コ])n(n+[サ])

  Σ[k=1〜n]bk=[シ]([オ]^n−[ス])


(3) 数列{an}に対して、初項3の数列{cn}が次を満たすとする。

  an・cn+1−4an+1・cn+3cn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{6}

 anが正であることから、{6}を変形して、cn+1={([セ]an+1)/(an+[ソ])}cn
を得る。

さらに、p=[ク]であることから、数列{cn}は[タ]ことがわかる。

[タ]の解答群
――――――――――――――――――――
|{0} すべての項が同じ値をとる数列である|
|{1} 公差が0でない等差数列である   |
|{2} 公比が1より大きい等比数列である |
|{3} 公比が1より小さい等比数列である |
|{4} 等差数列でも等比数列でもない   |
――――――――――――――――――――

(4) q,uは定数で、q≠0とする。数列{bn}に対して、初項3の数列{dn}が
次を満たすとする。

  dn・bn+1−q・dn+1・bn+u・bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{7}

 r=[オ]であることから、{7}を変形して、dn+1=([チ]/q)(dn+u)を得る。
したがって、数列{dn}が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための
必要十分条件は、q>[ツ]かつu=[テ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

  数列の解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/479520450.html

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■ 解説目次

 ◆1 等差数列と等比数列の用語・公式
 ◆2 等差数列だから初項と公差を代入
 ◆3 等比数列だから初項と公比を代入

(以下略)

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■ 解説

◆1〜3は省略します。


 ◆2 等差数列だから初項と公差を代入

ここら辺で今回の問題です。

「初項3,公差pの等差数列を{an}」
「初項3,公比rの等比数列を{bn}」

として、まずはanとbnの式を聞いています。

anは等差数列だから、一般項の公式は★an=a+(n−1)dですね。

これにa=3,d=pを代入すると、

an=3+(n−1)p

これで一般項がわかりました。

さらに、an+1=3+(n+1−1)p=3+np

となります。

よって、[ア]=3


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 ◆3 等比数列だから初項と公比を代入

続いてbnです。

「初項3,公比rの等比数列を{bn}」としているので、等比数列の一般項の公式を
使います。

★bn=a・r^(n-1)に、a=3,r=rを代入すると、


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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