■ 問題
２曲線ｙ＝ａｘ2，ｙ＝ｌｏｇｘ＋１／２について次の問いに答えよ。
(1) これらの２曲線が接するように、ａの値を定めよ。
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
「接する」ならば、まずは微分と考えます。
ｙ＝ａｘ2より、ｙ'＝２ａｘ
ｙ＝ｌｏｇｘ＋１／２より、ｙ'＝１／ｘ
接点は当然これら２曲線の共有点であり、接点では接線の傾きが等しいです。
接点のｘ座標をｔとして、ｔの方程式を作っていきましょう。
ｙ＝ａｔ2，ｙ'＝２ａｔ
ｙ＝ｌｏｇｔ＋１／２，ｙ'＝１／ｔ
ｙの式同士、ｙ'の式同士、ｘ＝ｔの位置では一致するはずだから、
ａｔ2＝ｌｏｇｔ＋１／２ ・・・①
２ａｔ＝１／ｔ ・・・②
②より、２ａｔ2＝１すなわち、ａｔ2＝１／２ ・・・③
③を①に代入して、
１／２＝ｌｏｇｔ＋１／２
ｌｏｇｔ＝０
ｔ＝ｅ0＝１
ｔ＝１つまり接点のｘ座標は１であることがわかりました。
②にｔ＝１を代入して、２ａ＝１すなわちａ＝１／２
これが求めるａの値となります。
次の問題→２曲線とｘ軸で囲まれた図形の面積
◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ
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