高校数学「積分」２曲線ｙ＝ａｘ2，ｙ＝ｌｏｇｘ＋１／２とｘ軸で囲まれた図形�A

高校数学「積分」２曲線ｙ＝ａｘ²，ｙ＝ｌｏｇｘ＋１／２とｘ軸で囲まれた図形�A

■　問題

２曲線ｙ＝ａｘ²，ｙ＝ｌｏｇｘ＋１／２について次の問いに答えよ。

(1) これらの２曲線が接するように、ａの値を定めよ。

(2) これらの２曲線とｘ軸とで囲まれた図形の面積Ｓを求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

(1)より、接点のｘ座標は１であり、ａ＝１／２であることがわかりました。
２曲線のうち２次関数の方にこれらの値を代入すると、ｙ＝１／２となります。つまり、接点は(１，１／２)です。

また、対数関数の方にｙ＝０を代入すると、０＝ｌｏｇｘ＋１／２よりｌｏｇｘ＝−１／２よって、ｘ＝１／√ｅとなります。

０〜１／√ｅの区間では２次関数とｘ軸にはさまれた部分、１／√ｅ〜１の区間では２次関数と対数関数にはさまれた部分が求める図形となります。
つまり、そのままやると、

Ｓ＝∫[0〜1/√e](１／２)ｘ²ｄｘ＋∫[1/√e〜1][ｌｏｇｘ＋１／２−(１／２)ｘ²}ｄｘ

このように表すことができます。
このまま計算ではちょっと大変なので、分け方を変えてみます。

Ｓ＝∫[0〜1](１／２)ｘ²ｄｘ−∫[1/√e〜1](ｌｏｇｘ＋１／２)ｄｘ

「２次関数とｘ軸の間の部分から、対数関数とｘ軸の間の部分を引く」という見方です。

途中経過は省略しますが、これを計算すると、

Ｓ＝２／３−１／√ｅ


一応、それぞれの積分の計算を示しておきます。

　∫[0〜1](１／２)ｘ²ｄｘ
＝[(１／６)ｘ³][0〜1]
＝(１／６)−０
＝１／６

　∫[1/√e〜1]ｌｏｇｘｄｘ
＝∫[1/√e〜1]１・ｌｏｇｘｄｘ−∫[1/√e〜1](１／２)ｄｘ
＝[ｘｌｏｇｘ]∫[1/√e〜1]−∫∫[1/√e〜1]ｘ・１／ｘｄｘ
＝１・ｌｏｇ１−(１／√ｅ)ｌｏｇ(１／√ｅ)−∫∫[1/√e〜1]１ｄｘ
＝０−(１／√ｅ)ｌｏｇｅ^-1/2−[ｘ]∫[1/√e〜1]
＝(１／２√ｅ)ｌｏｇｅ−(１−１／√ｅ)
＝１／２√ｅ−１＋１／√ｅ
＝−１＋１／２√ｅ＋２／２√ｅ
＝−１＋３／２√ｅ


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◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ


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