高校数学「対数不等式」(ｌｏｇ[3]ｘ)^2−ｌｏｇ[9]ｘ^2−１２≧０

高校数学「対数不等式」(ｌｏｇ₃ｘ)²−ｌｏｇ₉ｘ²−１２≧０

■　問題

次の対数不等式を解け。

(ｌｏｇ₃ｘ)²−ｌｏｇ₉ｘ²−１２≧０


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

ｌｏｇ₃ｘについての２次不等式と考えて解きます。

まずはｌｏｇ₉ｘをｌｏｇ₃ｘに直すと、

ｌｏｇ₉ｘ＝ｌｏｇ₃ｘ／ｌｏｇ₃９＝(１／２)ｌｏｇ₃ｘ

このように直すことができます。
つまり与式は、

(ｌｏｇ₃ｘ)²−ｌｏｇ₉ｘ²−１２≧０
(ｌｏｇ₃ｘ)²−２ｌｏｇ₉ｘ−１２≧０
(ｌｏｇ₃ｘ)²−２(１／２)ｌｏｇ₃ｘ−１２≧０
(ｌｏｇ₃ｘ)²−ｌｏｇ₃ｘ−１２≧０

となります。
このままやってもいいのですが、ここではｌｏｇ₃ｘ＝ｔと置き換えてみます。すると、

ｔ²−ｔ−１２≧０

ですね。
普通の２次不等式になりました。
あとはこれを普通に解けばＯＫ！です！

(ｔ＋３)(ｔ−４)≧０
よって、ｔ≦−３，ｔ≧４

この２次不等式を満たすｔの範囲としてはこれで正しいですが、今回はｌｏｇ₃ｘ＝ｔなので、ｘの範囲に書き直す必要があります。
つまり、

ｌｏｇ₃ｘ≦−３，ｌｏｇ₃ｘ≧４

です。
それぞれ普通に解くと、

ｘ≦１／２７，ｘ≧８１

ですね。
さらに、真数条件よりｘ＞０だから、

０＜ｘ≦１／２７，ｘ≧８１

これが解答です。


◆関連項目
ｌｏｇ[2]ｘ＞３，ｌｏｇ[1/3]ｘ＞２
ｌｏｇ[5](ｘ−２)＜ｌｏｇ[5](６−ｘ)，ｌｏｇ[3](ｘ−４)＋ｌｏｇ[3](ｘ−２)＜１
対数の公式、指数・対数まとめ


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