高校数学「対数関数」対数関数ｙ＝ｌｏｇ[2](−ｘ^2＋３ｘ−２)の最大値

高校数学「対数関数」対数関数ｙ＝ｌｏｇ₂(−ｘ²＋３ｘ−２)の最大値

対数関数ｙ＝ｌｏｇ₂(−ｘ²＋３ｘ−２)の最大値を求めよ。また、そのときのｘの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


対数関数ｙ＝ｌｏｇ₂(−ｘ²＋３ｘ−２)の最大値

真数部分がｘの式で表されているということは、ｘの値によって対数の値が決まり、範囲も決まるということになります。
まずは真数部分の値域を求めてみます。

　−ｘ²＋３ｘ−２
＝−(ｘ²−３ｘ)−２
＝−{(ｘ−３／２)²−９／４}−２
＝−(ｘ−３／２)²＋９／４−２
＝−(ｘ−３／２)²＋１／４

つまり、この２次式は、ｘ＝３／２で最大値１／４をとることがわかります。

対数の底は２で１より大きいので、真数が大きければ対数も大きい。ということができます。

つまり、求める対数関数の最大値は、−ｘ²＋３ｘ−２＝１／４のときの値になると判断できます。
このとき、ｙ＝ｌｏｇ₂１／４＝−２です。

よって求める解は、ｘ＝３／２のとき最大値−２


◆関連項目
ｙ＝(ｌｏｇ[2]ｘ)^2−ｌｏｇ[2](ｘ^4)＋６の最大最小
指数・対数まとめ


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