【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2020年大学入試センター試験数２Ｂより
第１問
[1] ０≦θ＜２πのとき
ｓｉｎθ＞√３・ｃｏｓ(θ－π／３) ・・・{1}
となるθの範囲を求めよう。
加法定理を用いると
√３・ｃｏｓ(θ－π／３)＝(√[ア]／[イ])ｃｏｓθ＋([ウ]／[イ])ｓｉｎθ
である。よって、三角関数の合成を用いると、{1}は
ｓｉｎ(θ＋π／[エ])＜０
と変形できる。したがって、求める範囲は
([オ]／[カ])π＜θ＜([キ]／[ク])π
である。
(2) ０≦θ≦π／２とし、ｋを実数とする。ｓｉｎθとｃｏｓθはｘの２次方程式
２５ｘ^2－３５ｘ＋ｋ＝０の解であるとする。このとき、解と係数の関係により
ｓｉｎθ＋ｃｏｓθとｓｉｎθｃｏｓθの値を考えれば、ｋ＝[ケコ]であることが
わかる。
さらに、θがｓｉｎθ≧ｃｏｓθを満たすとすると、ｓｉｎθ＝[サ]／[シ]，
ｃｏｓθ＝[ス]／[セ]である。このとき、θは[ソ]を満たす。[ソ]に当てはまる
ものを、次の{0}～{5}のうちから一つ選べ。
{0} ０≦θ＜π／１２ {1} π／１２≦θ＜π／６ {2} π／６≦θ＜π／４
{3} π／４≦θ＜π／３ {4} π／３≦θ＜(５／１２)π {5} (５／１２)π≦θ＜π／２
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。
三角関数の解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/478360103.html
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■ 解説目次
◆１ π＝１８０°
◆２ 「加法定理」と言ってるので加法定理
◆３ 三角関数の合成はサインの加法定理
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ 「加法定理」と言ってるので加法定理
では今回の問題を確認してみましょう！
「加法定理を用いると」
「√３・ｃｏｓ(θ－π／３)＝(√[ア]／[イ])ｃｏｓθ＋([ウ]／[イ])ｓｉｎθ」
とあります。
「加法定理」と言っているので、その通りにやってみましょう！
★ ｃｏｓ(α－β)＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ
ですね。α＝θ，β＝π／３を代入して、
√３・ｃｏｓ(θ－π／３)
＝√３{ｃｏｓθｃｏｓ(π／３)＋ｓｉｎθｓｉｎ(π／３)
＝√３{ｃｏｓθ(１／２)＋ｓｉｎθ(√３／２)}
＝(√３／２)ｃｏｓθ＋(３／２)ｓｉｎθ
よって、[ア]＝３，[イ]＝２，[ウ]＝３
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◆３ 三角関数の合成はサインの加法定理
続いて、{1}の式を「三角関数の合成」を用いて変形します。
三角関数の合成は、この式のように、サインとコサインがともに１次式の場合に
一つにまとめることができる方法です。
★ ａ・ｓｉｎｘ＋ｂ・ｃｏｓｘ＝{√(ａ^2＋ｂ^2)}ｓｉｎ(ｘ＋α)
サインの加法定理の公式を左右逆にして、分数にならないように係数を調整した
ものだと理解することができます。
サインの加法定理は
★ ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ
で、α＝ｘ，β＝αと置き換えれば、
(以下略)
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ラベル：数学
