高校数学「微分」傾きが−３の接線

高校数学「微分」傾きが−３の接線

ｙ＝ｘ³−５ｘ²の接線のうち、傾きが−３であるものを求めよ。


接線といえば微分です。


解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。



微分すると、接線の傾きが出てきます。
だから、接線の方程式を求めたければ、与式を微分します。

ｙ＝ｘ³−５ｘ²より、

ｙ'＝３ｘ²−１０ｘ

これが接線の傾きを表すので、イコール−３で解きます。

　　３ｘ²−１０ｘ＝−３
３ｘ²−１０ｘ＋３＝０

たすきがけで因数分解すると、

(３ｘ−１)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝１／３，３

つまり、ｘが１／３のときと３のときに、接線の傾きが−３になる。というわけです。

それぞれのｙ座標を求めて、直線の式に代入すれば、求める接線の方程式が出ますね！

ｘ＝１／３のとき、
ｙ＝(１／３)³−５(１／３)²
　＝１／２７−５／９
　＝１／２７−１５／９
　＝−１４／２７

つまり、このときの接点の座標は(１／３，−１４／２７)です。傾きは−３だから、ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)に代入して、

ｙ−(−１４／２７)＝−３(ｘ−１／３)
ｙ＝−３ｘ＋１−１４／２７
　＝−３ｘ＋１３／２７

ｘ＝３のとき、
ｙ＝３³−５×３²
　＝２７−４５
　＝−１８

先ほどと同様に直線の式に代入して、

ｙ−(−１８)＝−３(ｘ−３)
ｙ＝−３ｘ＋９−１８
　＝−３ｘ−９

というわけで、求める接線の方程式は、

ｙ＝−３ｘ＋１３／２７，ｙ＝−３ｘ−９


◆関連問題
ｙ＝ｘ^3＋ｘ^2−２上の点(−１，−２)における接線の方程式

微分積分(数学２)まとめ


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