高校数学「微分」３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ａｘ^2＋１２ｘ＋３が常に増加するとき

高校数学「微分」３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ³＋ａｘ²＋１２ｘ＋３が常に増加するとき

３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ³＋ａｘ²＋１２ｘ＋３が常に増加するように、定数ａの値を定めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解答解説

「常に増加」ということは、「接線の傾きが常にプラス」です。

導関数の値が接線の傾きを表すので、導関数の式の値が常にプラスになる場合の条件を考えていきます。

まずは与式を微分しましょう！

ｆ'(ｘ)＝３ｘ²＋２ａｘ＋１２

この式の値が常にプラスになるならば・・・
ｆ'(ｘ)は下に凸の２次関数だから・・・

判別式Ｄ＜０ですね！

Ｄ＜０ならば横軸と共有点を持たない、すなわち、最小値がゼロより大きいので、ｆ'(ｘ)＞０ということができます。
代入して計算してみましょう！

Ｄ＝(２ａ)²−４×３×１２
　＝４ａ²−１４４＜０
　　　ａ²−３６＜０
(ａ＋６)(ａ−６)＜０

よって、−６＜ａ＜６


◆関連問題
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微分積分(数学２)まとめ


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