高校数学「微分」ｙ＝−２ｘ^3＋３ｘ^2＋１２ｘ−３の最大値・最小値

高校数学「微分」ｙ＝−２ｘ³＋３ｘ²＋１２ｘ−３の最大値・最小値

３次関数ｙ＝−２ｘ³＋３ｘ²＋１２ｘ−３の−２≦ｘ≦１における最大値・最小値を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

３次関数の最大値・最小値を考えるときは、増減表を書くのが定番となっています。
増減表に極値と定義域の両端を示して、それらの値を比べれば、最大値・最小値がわかる。というわけです。

まずは微分します。

ｙ'＝−６ｘ²＋６ｘ＋１２

導関数の値がゼロのときが極値だから、イコールゼロで解きます。

−６ｘ²＋６ｘ＋１２＝０
　　　　ｘ²−ｘ−２＝０
(ｘ＋１)(ｘ−２)＝０
よって、ｘ＝−１，２

つまり、極値をとるのはｘ＝−１，２の場合です。
それぞれのｙの値もここで求めておきましょう！

ｘ＝−１のとき
ｙ＝−２(−１)³＋３(−１)²＋１２・(−１)−３
　＝２＋３−１２−３
　＝−１０

ｘ＝２のとき
ｙ＝−２・２³＋３・２²＋１２・２−３
　＝−１６＋１２＋２４−３
　＝１７


定義域の範囲内だけの増減表を書くのが標準となっていますが、まずは実数全体で増減表を書いた方がわかりやすいと思います。

ｘ　｜…｜−１｜…｜２｜…
ｙ' ｜　｜ ０ ｜　｜０｜
ｙ　｜　｜−１０｜　｜１７｜

まずはこのように、極値の部分を埋めます。
続いて、ｙ'とｙの増減にかかわる部分を埋めます。

ｘ　｜…｜−１｜…｜２｜…
ｙ' ｜−｜ ０ ｜＋｜０｜−
ｙ　｜↘｜−１０｜↗｜１７｜↘

これで増減と極値がわかりました。
ここで定義域を確認して、定義域の両端と極値の位置関係を把握します。
−２≦ｘ≦１なので、極大値は定義域に含まれていません。
グラフの形を考えれば、極小値が最小値になるとわかると思います。

あとは、最大値が定義域の両端のどちらなのかを考えます。それぞれｙ座標を出して比べればＯＫですね！

ｘ＝−２のとき
ｙ＝−２(−２)³＋３(−２)²＋１２・(−２)−３
　＝１６＋１２−２４−３
　＝１

ｘ＝１のとき
ｙ＝−２・１³＋３・１²＋１２・１−３
　＝−２＋３＋１２−３
　＝１０

ｘ＝１のときの方が大きいですね。

というわけで、

ｘ＝１のとき最大値１０，ｘ＝−１のとき最小値−１０


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学２)まとめ


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