高校数学「微分」３次方程式ｘ^3＋４ｘ^2−３ｘ＋ａ＝０の異なる実数解の個数

高校数学「微分」３次方程式ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋ａ＝０の異なる実数解の個数

３次方程式ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋ａ＝０の異なる実数解の個数は、定数ａの値によってどのように変わるか？


解答解説はこのページ下


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◆解答解説

３次方程式の解の個数を考えるときは、３次関数の極値を考えます。
方程式の解は、ｙ＝０のときのｘの値だから、つまり、ｘ軸との共有点の個数が３次関数の解の個数になります。

極値を求めるなら、微分して増減表！ということで、まずは微分してイコールゼロで解いていきます。

ｆ(ｘ)＝ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋ａとすると、

ｆ'(ｘ)＝３ｘ²＋８ｘ−３＝０
　　　(３ｘ−１)(ｘ＋３)＝０
よって、ｘ＝１／３，−３

つまり、ｘ＝１／３，−３のときに極値をとることがわかります。

ｆ(１／３)＝(１／３)³＋４(１／３)²−３・１／３＋ａ
　　　　＝１／２７＋４／９−１＋ａ
　　　　＝(１＋１２−２７)／２７＋ａ
　　　　＝−１４／２７＋ａ

ｆ(−３)＝(−３)³＋４(−３)²−３×(−３)＋ａ
　　　＝−２７＋３６＋９＋ａ
　　　＝１８＋ａ

というわけで極値は、ｘ＝−３のとき極大値１８＋ａ，ｘ＝１／３のとき極小値−１４／２７＋ａとなります。

●ｘ軸がこの２つの極値の間を通れば３次方程式の解は３つ
●どちらかの極値上にｘ軸があれば解は２つ
●極大値より上か、極小値より下ならば解は１つ

となります。
つまり、今回の３次方程式の解は、

−１８＜ａ＜１４／２７のとき、３つ
ａ＝−１８，１４／２７のとき、２つ
ａ＜−１８，ａ＞１４／２７のとき、１つ

となります。


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学２)まとめ


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