高校数学「微分」３次不等式ｘ3＋ａ＞３ｘ2＋９ｘが成り立つとき

高校数学「微分」３次不等式ｘ³＋ａ＞３ｘ²＋９ｘが成り立つとき

３次不等式ｘ³＋ａ＞３ｘ²＋９ｘが、ｘ≧０において成り立つようなａの値の範囲を求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解答解説

「３次不等式ｘ³＋ａ＞３ｘ²＋９ｘが成り立つ」ということは、「整式＞０」の形に変形して、その整式の最小値がゼロ以上になればいいですね。

まずは移項すると、

ｘ³＋ａ−３ｘ²−９ｘ＞０
ｘ³−３ｘ²−９ｘ＋ａ＞０

この３次式の最小値を考えるので、微分して極値を求めます。

左辺＝ｆ(ｘ)とすると、

ｆ'(ｘ)＝３ｘ²−６ｘ−９

極値はｆ'(ｘ)＝０だから、

３ｘ²−６ｘ−９＝０
ｘ²−２ｘ−３＝０
(ｘ＋１)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝−１，３

ｘの３乗の係数がプラスなので、全体として右上がりだから、ｘ＝−１で極大、ｘ＝３で極小です。

ｘ＞０で不等式が成り立つ。つまり、ｘ＞０のとき最小値がゼロより大きくななればＯＫです。
ならば、極小値がゼロより大きくなるようａの値を定めればＯＫですね。

ｆ(３)＝３³−３・３²−９・３＋ａ
　　＝２７−２７−２７＋ａ
　　＝−２７＋ａ＞０
　　　　　　　ａ＞２７


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学２)まとめ


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