高校数学「微分」ｌｏｇｘ＝ａｘの実数解の個数

高校数学「微分」ｌｏｇｘ＝ａｘの実数解の個数

■　問題

方程式ｌｏｇｘ＝ａｘの実数解の個数を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

ｙ＝ｌｏｇｘとｙ＝ａｘの２つのグラフを使って求めることもできますが、ここでは与式を変形して解いてみます。

真数条件よりｘ＞０だから、両辺をｘで割ると

(ｌｏｇｘ)／ｘ＝ａ

ｆ(ｘ)＝(ｌｏｇｘ)／ｘとすると、
ｆ'(ｘ)＝{(ｌｏｇｘ)'・ｘ−(ｌｏｇｘ)・ｘ'}／ｘ²
　　＝{(１／ｘ)ｘ−ｌｏｇｘ}／ｘ²
　　＝(１−ｌｏｇｘ)／ｘ²

ｌｉｍ[x→0]＝−∞，ｌｉｍ[x→∞]＝０だから、ｆ(ｘ)はｙ軸に近づくと限りなく小さくなり、ｘの値が増えれば増えるほどｘ軸に近づきます。

また、１−ｌｏｇｅ＝１−１＝０だから、ｆ'(ｅ)＝０で、
ｆ(ｅ)＝(ｌｏｇｅ)／ｅ＝１／ｅです。

これらの情報をもとに増減表を描くと、

　　ｘ｜０｜…｜　ｅ　｜…｜
ｆ'(ｘ)｜／｜＋｜　０　｜−｜
ｆ(ｘ)｜／｜↗｜１／ｅ｜↘｜

これとｙ＝ａとの交点の個数が、与式の実数解の個数だから、

０＜ａ＜１／ｅのとき、２個
ａ＝１／ｅ，ａ≦０のとき、１個
ａ＞１／ｅのとき、０個


◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ


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