【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2020年大学入試センター試験数2Bより
第4問
点Oを原点とする座標空間に2点
A(3,3,−6),B(2+2√3,2−2√3,−4)
をとる。3点O,A,Bの定める平面をαとする。また、αに含まれる点Cは
→OA⊥→OC,→OB・→OC=24 ……{1}
を満たすとする。
(1) |→OA|=[ア]√[イ],|→OB|=[ウ]√[エ]であり、
→OA・→OB=[オカ]である。
(2) 点Cは平面α上にあるので、実数s,tを用いて、
→OC=s・→OA+t・→OBと表すことができる。
このとき、{1}からs=[キク]/[ケ],t=[コ]である。
したがって、|→OC|=[サ]√[シ]である。
(3) →CB=([ス],[セ],[ソタ])である。したがって、平面α上の
四角形OABCは[チ]。[チ]に当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから一つ
選べ。ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。
{0} 正方形である
{1} 正方形でないが、長方形である
{2} 長方形でないが、平行四辺形である
{3} 平行四辺形でないが、台形である
{4} 台形ではない
→OA⊥→OCであるので、四角形OABCの面積は[ツテ]である。
(4) →OA⊥→OD,→OC・→OD=2√6かつz座標が1であるような点Dの
座標は
([ト]+√[ナ]/[ニ],[ヌ]−√[ネ]/[ノ],1)である。
このとき∠COD=[ハヒ]°である。
3点O,C,Dの定める平面をβとする。αとβは垂直であるので、
三角形ABCを底面とする四面体DABCの高さは√[フ]である。したがって、
四面体DABCの体積は[ヘ]√[ホ]である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
ベクトルの解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/478238347.html
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■ 解説目次
◆1 ベクトルの成分と大きさ
◆2 ベクトルの足し算とかけ算
◆3 絶対値は三平方の定理
◆4 内積は「掛けて足す」
(以下略)
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■ 解説
◆1,2は省略します。
◆3 絶対値は三平方の定理
では今回の問題です。
まず最初は、→OAと→OBの絶対値を求める問題となっています。
ベクトルの絶対値は、要するにその長さなので、◆1でも触れたように、三平方の
定理から求めることができます。
→OA=(3,3,−6)なので、
|→OA|=√{3^2+3^2+(−6)^2}
=√(9+9+36)
=√54
=3√6
→OBも同様に、→OB=(2+2√3,2−2√3,−4)なので、
|→OB|=√{(2+2√3)^2+(2−2√3)^2+(−4)^2}
=√(4+8√3+12+4−8√3+12+16)
=√48
=4√3
よって、[ア]=3,[イ]=6,[ウ]=4,[エ]=3
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◆4 内積は「掛けて足す」
続いて、→OA・→OBを求めます。
◆1でも述べたように、「内積はそれぞれの成分の積を合計する」ので、ここでも
→OAと→OBのx成分、y成分、z成分をそれぞれかけて合計します。
→OA=(3,3,−6),→OB=(2+2√3,2−2√3,−4)だから・・・
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル:数学