高校数学「微分」ｙ＝−３ｘ^4−２ｘ^3＋３ｘ^2の最大最小

高校数学「微分」ｙ＝−３ｘ⁴−２ｘ³＋３ｘ²の最大最小

ｙ＝−３ｘ⁴−２ｘ³＋３ｘ²の−２≦ｘ≦２における最大値・最小値を求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解答解説

ｙ＝−３ｘ⁴−２ｘ³＋３ｘ²の−２≦ｘ≦２における最大値・最小値を求めよ。

最大最小なので、微分して極値を求め、定義域の両端も考慮して、最大値・最小値を探していきます。

まずは微分すると、

ｙ'＝−１２ｘ³−６ｘ²＋６ｘ

導関数の値がゼロのときが極値だから、イコールゼロで解きます。

−１２ｘ³−６ｘ²＋６ｘ＝０
２ｘ³＋ｘ²−ｘ＝０
ｘ(２ｘ²＋ｘ−１)＝０
ｘ(２ｘ−１)(ｘ＋１)＝０
よって、ｘ＝０，１／２，−１

ｘがこれらの値のとき、この４次関数は極値をとります。
定義域は−２≦ｘ≦２だから、これらの極値は全て定義域内にありますね。
ｙ＝ｆ(ｘ)として、それぞれのｙ座標を求めていきます。

ｆ(−２)＝−３(−２)⁴−２(−２)³＋３(−２)²
　　　＝−４８＋１６＋１２＝−２２

ｆ(−１)＝−３(−１)⁴−２(−１)³＋３(−１)²
　　　＝−３＋２＋３＝２

ｆ(０)＝０

ｆ(１／２)＝−３(１／２)⁴−２(１／２)³＋３(１／２)²
　　　　＝−３／１６−３／８＋３／４
　　　　＝−３／１６−６／１６＋１２／１６＝３／１６

ｆ(２)＝−３・２⁴−２・２³＋３・２²
　　＝−４８−１６＋１２＝−５２

ここでは省略しますが、これらの値をもとに増減表を描いて、ｙ座標を比較すると・・・

ｘ＝−１のとき最大値２
ｘ＝２のとき最小値−５２


◆関連問題
３次関数ｙ＝−２ｘ^3＋３ｘ^2＋１２ｘ−３の最大最小
微分積分(数学２)まとめ


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