高校数学「微分」ｆ(ｘ)＝−４ｘ^3＋９ｘ^2＋１２ｘ−１の最大最小

高校数学「微分」ｆ(ｘ)＝−４ｘ³＋９ｘ²＋１２ｘ−１の最大最小

ｆ(ｘ)＝−４ｘ³＋９ｘ²＋１２ｘ−１の−２≦ｘ≦３における最大値・最小値を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

ｆ(ｘ)＝−４ｘ³＋９ｘ²＋１２ｘ−１の−２≦ｘ≦３における最大値・最小値を求めよ。

最大最小なので、微分して極値を求め、増減表を描き、極値と定義域の両端を比較する。という流れですね。

まずは微分してみましょう！

ｆ'(ｘ)＝−１２ｘ²＋１８ｘ＋１２

極値では導関数の値がゼロなので、イコールゼロで解きます。

−１２ｘ²＋１８ｘ＋１２＝０
２ｘ²−３ｘ−２＝０
(２ｘ＋１)(ｘ−２)＝０
よって、ｘ＝−１／２，２

ｆ(−１／２)＝−４(−１／２)³＋９(−１／２)²＋１２(−１／２)−１
　　　　　＝１／２＋９／４−６−１
　　　　　＝(２＋９−２４−４)／４
　　　　　＝−１７／４

ｆ(２)＝−４×２³＋９×２²＋１２×２−１
　　＝−３２＋３６＋２４−１
　　＝２７

これらが極値です。

続いて、定義域の両端の値を求めます。

ｆ(−２)＝−４(−２)³＋９(−２)²＋１２(−２)−１
　　　＝３２＋３６−２４−１
　　　＝４３

ｆ(３)＝−４×３³＋９×３²＋１２×３−１
　　＝−１０８＋８１＋３６−１
　　＝８

定義域の両端と極値のうち、最も大きいのはｆ(−２)＝４３，最も小さいのはｆ(−１／２)＝−１７／４ですね。

よって、ｘ＝−２のとき最大値４３，ｘ＝−１／２のとき最小値−１７／４


◆関連問題
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微分積分(数学２)まとめ


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