高校物理「電気」内部抵抗ｒの電池と可変抵抗器の回路�B

高校物理「電気」内部抵抗ｒの電池と可変抵抗器の回路�B

◆問題

内部抵抗ｒ，起電力Ｅの電池と可変抵抗からなる回路がある。可変抵抗器は０からｒよりも大きな有限の値まで抵抗値を変化させることができるとして、次の問いに答えよ。


参考図

┌[抵抗器]┐
│　　　　│
└[電池]─┘

(1) 可変抵抗器にかかる電圧Ｖと、流れる電流Ｉの関係を式で示せ。

(2) 可変抵抗器の消費電力Ｐを、Ｖ，Ｅ，ｒを用いて表せ。

(3) 電力Ｐが最小になるときのＶの値と、Ｐの最小値を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

(2)で「Ｐ＝Ｖ(Ｅ−Ｖ)／ｒ」を求めました。

これが最小になるときを考えます。

ＰはＶが変化すると、それにともなって値が変わります。
式を見ると、Ｖについての２次関数と考えることができますね。
つまり、普通の２次関数の最大最小と同様のことをやればいい。というわけです。
まずは平方完成してみましょう！

Ｐ＝(ＥＶ−Ｖ²)／ｒ
　＝−(１／ｒ)Ｖ²＋(Ｅ／ｒ)ｖ
　＝−(１／ｒ)(Ｖ²−ＥＶ)
　＝−(１／ｒ){(Ｖ−Ｅ／２)²−Ｅ²／４}
　＝−(１／ｒ)(Ｖ−Ｅ／２)²＋Ｅ²／４ｒ

横軸Ｖ，縦軸Ｐの２次関数の頂点が(Ｅ／２，Ｅ²／４ｒ)だから、
Ｖ＝Ｅ／２のときＰが最大になることがわかります。
(3)では最小値を聞いているので、Ｖの定義域についていも考えます。

可変抵抗器の値が０のときＶの値も０となるので、この２次関数の左端はＶ＝０になると判断できるはずです。
そして、ｒの値をどんどん大きくしていくとＶの値も大きくなり、Ｖ＝Ｅに近づくものの、ｒの値は有限なので、完全にＶ＝Ｅにはなりません。
Ｖ＝ＥのときにＩ＝０になりＰ＝０となり、Ｖ＝Ｅには達しないので、Ｖの定義域は「０≦Ｖ＜Ｅ」と考えられます。

つまり、Ｖ＝０のときＰの最小値０


次の問題→電力Ｐが最大のとき


◆関連項目
電気・磁気まとめ

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