■ 問題
等式ｆ(ｘ)＝ｘ＋(１／２)・∫[0～1]ｆ(ｔ)ｄｔを満たすｆ(ｘ)を求めよ。
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
∫[0～1]ｆ(ｔ)ｄｔは定積分なので、計算すれば何らかの定数になります。
だから、∫[0～1]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ａなどとおいて、等式を書き換えることができます。
ｆ(ｘ)＝ｘ＋(１／２)ａ
ですね。
ならば、
ｆ(ｔ)＝ｔ＋(１／２)ａ
です。
ということは、
∫[0～1]ｆ(ｔ)ｄｔ
＝∫[0～1]{ｔ＋(１／２)ａ}ｄｔ
＝[(１／２)ｔ2＋(１／２)ａｔ][0～1]
＝１／２＋ａ／２
となります。
普通に定積分を計算すればこうなりますね。
∫[0～1]ｆ(ｔ)ｄｔ＝１／２＋ａ／２
であることがわかりました。
そもそも最初の方で、∫[0～1]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ａとおきましたね。
ということは、これらは等しいので、
ａ＝１／２＋ａ／２
このようにイコールで結ぶことができます。
これを解けば、
ａ／２＝１／２
ａ＝１
だから、求めるｆ(ｘ)は、
ｆ(ｘ)＝ｘ＋１／２
◆関連項目
等式ｆ(ｘ)＝ｘ・∫[0～1] ｆ(ｘ)ｄｘ＋１を満たすｆ(ｘ)を求めよ
微分積分(数学２)まとめ
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