高校数学「積分」ｙ＝ｘ3−ｘ2−１２ｘと接線で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」ｙ＝ｘ³−ｘ²−１２ｘと接線で囲まれた図形の面積

■　問題

３次関数ｙ＝ｘ³−ｘ²−１２ｘと、その曲線上の点(−１，１０)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

まずは接線の方程式を求めてみましょう！

ｙ'＝３ｘ²−２ｘ−１２

(−１，１０)における接線なので、ｘ＝−１を代入して、

ｙ'＝３×(−１)²−２×(−１)−１２
　＝３＋２−１２
　＝−７

これが接線の傾きだから、

ｙ−１０＝(−７){ｘ−(−１)}
　　　ｙ＝−７ｘ−７＋１０
　　　ｙ＝−７ｘ＋３

３次関数と接線で囲まれた図形の面積を考えるので、これらの共有点を求めます。

ｘ³−ｘ²−１２ｘ＝−７ｘ＋３
ｘ³−ｘ²−５ｘ−３＝０

ｘ＝−１で接するので、この整式は(ｘ＋１)で割りきれます。

(ｘ＋１)(ｘ²−２ｘ−３)＝０
(ｘ＋１)(ｘ＋１)(ｘ−３)＝０
よって、３次関数と接線の共有点は、ｘ＝−１，３

ｘ³の係数が正の数なので、３次関数は全体として右上がりの曲線になります。
ということは、接点と交点の間の区間では接線が上、曲線が下となります。
だから、求める面積は「接線−曲線」で定積分です。

　∫[-1〜3]{−７ｘ＋３−(ｘ³−ｘ²−１２ｘ)}ｄｘ
＝∫[-1〜3](−ｘ³＋ｘ²＋５ｘ＋３)ｄｘ
＝[(−１／４)ｘ⁴＋(１／３)ｘ³＋(５／２)ｘ²＋３ｘ][-1〜3]
＝(−１／４)×３⁴＋(１／３)×３³＋(５／２)×３²＋３×３−{(−１／４)(−１)⁴＋(１／３)(−１)³＋(５／２)(−１)²＋３・(−１)
＝−８１／４＋９＋４５／２＋９−(−１／４−１／３＋５／２−３)
＝−８１／４＋４５／２＋１８＋１／４＋１／３−５／２＋３
＝−８０／４＋４０／２＋１／３＋２１
＝１／３＋２１
＝６４／３


◆関連項目
等式ｆ(ｘ)＝ｘ・∫[0〜1] ｆ(ｘ)ｄｘ＋１を満たすｆ(ｘ)を求めよ
微分積分(数学２)まとめ

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