高校数学「積分」∫[a〜x]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ｘ^2−５ｘ−６を満たす関数ｆ(ｘ)と定数ａの値

高校数学「積分」∫[a〜x]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ｘ²−５ｘ−６を満たす関数ｆ(ｘ)と定数ａの値

■　問題

∫[a〜x]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ｘ²−５ｘ−６を満たす関数ｆ(ｘ)と定数ａの値を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

∫[a〜x]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ｘ²−５ｘ−６を満たす関数ｆ(ｘ)と定数ａの値を求めよ。

要するに、「積分したらｘ²−５ｘ−６になる」ので、ｘ²−５ｘ−６を微分すればもとの関数ｆ(ｘ)を求められるはずですね。

ｆ(ｘ)＝(ｘ²−５ｘ−６)'
　　＝２ｘ−５

ということは、

∫[a〜x](２ｔ−５)ｄｔ＝ｘ²−５ｘ−６

となるはずです。
左辺を計算してみましょう。

　∫[a〜x](２ｔ−５)ｄｔ
＝[ｔ²−５ｔ][a〜x]
＝ｘ²−５ｘ−(ａ²−５ａ)
＝ｘ²−５ｘ−ａ²＋５ａ

これがｘ²−５ｘ−６と等しくなるので、

−ａ²＋５ａ＝−６

という式が成り立ちます。
あとはこれを解きます。

ａ²−５ａ＝６
ａ²−５ａ−６＝０
(ａ＋１)(ａ−６)＝０
よって、ａ＝−１，６

つまり、求める関数ｆ(ｘ)とａの値は、

ｆ(ｘ)＝２ｘ−５，ａ＝−１，６


◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学２)まとめ

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